Démonstration de fonctions

[hul541]

Bonjour,

g est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle [ c , d ] dont la dérivée seconde ne prend que des valeurs positives.
Démontrer que Cg est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
( une telle fonction est dite convexe )

Le coté démonstration est loin d'être mon fort , pouvez vous m'aider svp.

[hellow3]

Salut.

Sur I=[c;d]: pour tout point xo.

* Etudions le cas de la courbe a droite de la tangente en xo.
On se palce donc sur l'intervalle J=[xo;d]

g''>0 donc g' est une fonction croissante.
et pour tout x de J, g'(x)>=g'(xo)

Soit h la fonction tel que h'(x)=g'(x)-g'(xo) h'(x)>=0 sur J.
h(x)=g(x)-g'(xo)x est donc une fonction croissante.

donc pour tout x de J, h(x)>=h(xo)
soit: g(x)-g'(xo)x>=g(xo)-g'(xo)xo
g(x)>=g'(xo)x + g(xo) -g'(xo)xo
g(x)>=g'(xo)(x-xo) + g(xo)
g(x)>= tangente en xo.

* Etudions le cas de la courbe a gauche de la tangente en xo.
On se place donc sur l'intervalle J=[c;xo]

g''>0 donc g' est une fonction croissante.
et pour tout x de J, g'(x)<=g'(xo)

Soit h la fonction tel que h'(x)=g'(x)-g'(xo) h'(x)<=0 sur J.
h(x)=g(x)-g'(xo)x est donc une fonction décroissante.

donc pour tout x de J, h(x)>=h(xo)
soit: g(x)-g'(xo)x>=g(xo)-g'(xo)xo
g(x)>=g'(xo)x + g(xo) -g'(xo)xo
g(x)>=g'(xo)(x-xo) + g(xo)
g(x)>= tangente en xo.


PS: c'est ce qu'on appelle les accroissements finis. Si tu connais, tu peux gagner du temps. J'espère pas avoir fait d'erreur de calcul, mais j'en suis pas sur. A vérifier quand même.