Un probleme sur les exponentielles

[skygirlrelou]

Bonjour a tous, j'ai du mal avec un exercice. est ce que quelqu'un m'expliquer la question 1a, 2b et 2c de la partie b ? svp ?


Soit N0 le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l´instant t = 0 (N0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d´individus).

Partie A

Dans les instants qui suivent l´ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d´accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.
Dans ce premier modèle, on note f(t) le nombre de bactéries à l´instant t (exprimé en millions d´individus). La fonction f est donc solution de l´équation différentielle : y´ = ay.
(où a est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).

1. Résoudre cette équation différentielle, sachant que f(0) = N0.

J'ai trouve que C=No.

Partie B

Le milieu étant limité, le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s´appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l´évolution de la population de bactéries de la façon suivante:
Soit g(t) est le nombre de bactéries à l´instant t (exprimé en millions d´individus) ; la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0;+oo[ qui vérifie pour tout t de [0;+oo[ la relation g'(t)=ag(t)*[1-(g/M)]
où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales et a le réel défini dans la partie A.

1. a. Démontrer que si g est une fonction strictement positive vérifiant la relation (E), alors la fonction 1/g est solution de l´équation différentielle (E'): y'+ay=a/M.

b. Résoudre (E´).
c. Démontrer que si h est une solution strictement positive de (E´), alors 1/h vérifie (E).

2. On suppose désormais que, pour tout réel positif t,,où C est une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expérimentales.
a. Déterminer la limite de g en +oo et démontrer, pour tout réel t positif ou nul, la double inégalité : 0 <g(t) < M.
b. Etudier le sens de variation de g (on pourra utiliser la relation (E)).
Démontrer qu´il existe un réel unique t0 positif tel que g(t0) =M/2.
c. Démontrer que Etudier le signe de g´´. En déduire que la vitesse d´accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l´instant t0 défini ci-dessus.
Exprimer t0 en fonction de a et C.
d. Sachant que le nombre de bactéries à l´instant t est g(t), calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et t0, en fonction de M et C.

[skygirlrelou]

personne ne peut m'expliquer ???