Limites, Dérivées

[lapetitetami]

J'ai un exercice pour la rentrée, et j'essaye vraiment de le faire, il me reste une question mais je ne vois vraiment pas. Je sais pas si ce que j'ai fait avant est juste alors si quelqu'un pouvait m'aider et me mettre sur la voie !
Merci

Ennoncé :

f est la fonction définie sur [0;+infini[ par :
f(x) = x + Racine de x - 1

1. Etudiez les variations de x.
2. a) Montrez que l'équation x + Racine de x - 1 = 0 (E) a une solution unique ~ dans [0;+infini[.
b) Donnez un encadrement d'amplitude 10^-2 de ~
3. a) Donnez la valeur exacte de ~en résolvant une équation du second degré.
b) Retrouvez le résultat de la question 2.b)

Voila maintenant ce que j'ai fait :

1. f '(x) = 1 + 1/(2*Racine de x) > 0
f(x) = + infini quand x tend vers +infini car Lim x = +inifni quand x tend vers +infini et Lim Racine de x = +inifni quand x tend vers +inifni

Donc la tableau : x | 0 +inifni
f '(x)| +
f(x) | -1 croissante +inifni

2. a) La fonction Racine de x est continue sur [0;+infini[ (admis) et x et Racine de x sont 2 fonctions continues sur I alors x + Racine de x est continue sur le même I, d'où [0;+inifni]
La dérivée f ' est strictement positive (démontré dans 1.)
D'autre part f(o)=-1, on a bien k=0 qui E ]-1;+infini[ donc k=0 est une valeur intermédiare.
b) Ainsi d'après le théorème des valeurs intermédaires on peut affirmer que l'équation E(x) = 0 possède une solution unique ~ E [0;+infini[

- F(0) = -1
f(1) = 1
=> ~ E ]0;1[

- f(0.3) = -0.1523
f(0.4) = 0.03246
=> 0.3<~<0.4

- f(0.3777) = -0.0077
f(0.3877) = 0.01036
=> 0.38<~<0.39

d'où ~ = 0.385

Voila après je suis bloqué
Merci

[Noemi]

Il faut résoudre l'équation x + Vx - 1 = 0
soit Vx = 1-x on sait que x compris entre 0 et 1
On élève au carré
x = (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2
soit à résoudre x^2-3x+1 = 0

[Quidam]

On veut résoudre f(x)=0. D'où l'équation :
[1]
Qu'est-ce qui est gênant ? Le , non ?
Donc
Si x est solution de cette équation, alors il est solution de cette deuxième équation :

[2]
Ceci est une équation du second degré que tu sais résoudre ! Tu cherches les solutions et tu vérifies pour chacune d'elles si elles sont ou non également solution de la première équation.
Effectivement, nous savons que toute solution de [1] est solution de [2], mais nous n'avons pas l'équivalence ! Une solution de [2] n'est pas nécessairement solution de [1] ! Il t'appartient donc de vérifier, pour chaque solution de [2] que sans nul doute tu vas trouver, de vérifier s'il s'agit de soutions de [1] !

[lapetitetami]

Alors j'ai fait x = (1-x)^2
x = 1^2 - 2x + x^2
soit x^2 - 3x + 1 = 0
Delta = (-3)^2 - 4*1*1 = 5

x1 = 2.61 mais n'est pas compris entre 0 et 1
x2 = 0.381 et cette réponse se raproche de ce que j'ai trouvé au 2.b) à savoir ~= 0.385

Merci beaucoup !!