Suites récurrentes

[TheSnake]

Bonjour à tous !
J'ai besoin de votre aide pour un petit exercice d'analyse... Voici le début de l'énoncé :

Soit a>0. On définit la suite (Un) par U0 un réel vérifiant U0>0 et par la relation

Un+1= 1/2(Un + a/Un).

On se propose de montrer que Un tend vers Va. (Racine de a)

1. Montrer que

Un+1²-a= (un²-a)²/4un²

2. Montrer que si n>=1 alors un>=Va puis que la suite (Un) est décroissante.

Voila je n'arrive pas à montrer que un>=Va d'une manière convenable... Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance !

[klevia]

bonsoir, c'est pas très dur ...
Tu viens de montrer que pour tout n Un+1²-a >=0
d'où Un+1²>= a

or a>0 et Un positif pour tout n
d'où en utilisant que racine est croissante

on arrive à Un+1 >= Va
d'où le résultat

[TheSnake]

Mais comment passer de Un+1>VA à Un>VA ?

[klevia]

pour n > 0 , Un+1>=Va je pose p = n+1 et on obtient
pour tout p > 1 Up >= Va

voila, c'est tout bête ...

[TheSnake]

Woa on a le droit de faire ca :) ?

[klevia]

Il me semble ...

[TheSnake]

Lol d'accord merci beaucoup dans ce cas là...

[klevia]

pas de souci
Bonne soirée

[TheSnake]

J'ai une dernière petite question ..
J'ai trouvé l'exerice ici :Exercice 569

J'aurai juste besoin d'une indication pour la derniere question...
Sachant que Un tend vers Va , il suffit de calculer u1,u2,u3... Jusqu'a l'obtention de 8 chiffres stables apères la virgule ? Ou il faut utiliser la relation de la question précédente je ne sais comment ?

Merci d'avance !

[klevia]

on pose a=10
U1=0.5(3+10/3)=0.5*19/3=19/6<4
on prend k = 4

et grace à la dernière inégalité on voit qu'il faut aller jusqu'à n=7 pour avoir les 8 chiffres stables ( c'est la calculatrice qui t'aide là ...) donc faut calculer U7

[TheSnake]

J'suis vraiment désolé mais je comprend pas ton dernier post !
Peux-tu précisé un peu s'il te plait ?
Tu utilises la relation de la question d'avant ?