C'est trop simple ?

[Fantasi0]

Bonjour,

je dois démontrer l'équivalence entre ces deux points

(i) f est continue au point x0
(ii) pour toute suite {xn} de nombres réels vérifiant xn -> x0, lim f(xn) = f(x0)

Montrer (i) => (ii) est facile grâce à la définition de la continuité (une fonction est continue en x0 si et seulement si lim f(x) = f(x0) (si x -> x0))

Pour (ii) => (i), je veux démontrer par l'absurde, donc que si on a l'hypothèse (ii) vérifiée et que f est non continue, on a une contradiction.

Je veux donc dire que (ii) implique que f est non continue (lim f(x) f(x0) si x -> x0). mais cela contredit la définition de (ii)

Alors j'aimerais savoir si ma démonstration est suffisante vu que ce la me parait trop facile.

Merci pour votre aide.

[alben]

Bonjour,
pour (i)->(ii), Ok mais je ne suis pas certain que lim(f(xn))=f(lim(xn)) soit la définition de la continuité. Pour moi, c'est plutôt un théorème
Dans l'autre sens, ta démarche par l'absurde est la bonne mais c'est un peu plus délicat. Il te faut construire une suite xn en partant de la non-continuité pour aboutir à la contradiction

[Easyblue]

Bonjour!
Je pense que tu ne dois pas bien comprendre ce qu'est une démonstration par l'absurde ou c'est moi qui n'est pas bien compris ce que tu as fait.
Quand on démontre par l'absurde, on suppose ici (ii) vérifiée et que f n'est pas continue comme tu l'as dit et on doit alors aboutir à une contradiction. Je ne vois pas ce qui te gêne.

[Joker62]

J'pense qu'alben connaît très bien le principe de l'absurde.

En fait, on suppose ii) et non i)
Alors On cherche à construire une suite pour laquelle ça marche pas, donc on aboutit à une contradiction.