[T°S] Fonction exponentielle

[Yumeno]

Bonjour,

Nous abordons depuis quelques cours la fonction exponentielle et le prof a donné un DM assez ardu sur cette notion, et bien que je relise en long, en large et en travers mes cours, je suis vraiment bloqué... Voici l'énoncé, en espérant que vous pourrez me mettre sur la voie :

On considère ici la courbe représentative C de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé. Pour chaque réel t, on note P(t) le point de coordonnées (t ; 0) et Tt la tangente à la courbe C au point d'abscisse t. Cette tangente coupe l'axe des abscisses en un point Qt.

Démontrer que la distance PtQt est constante (ne dépend pas de t).

Pour l'instant je préfère me focaliser sur cette partie du DM, mais il en vient encore après, et ça ne me semble pas plus facile, bien au contraire... Merci d'avance pour votre aide.

[Quidam]

En terminale, on sait calculer l'équation d'une tangente, non ? Et pour calculer l'équation d'une tangente en un point (x;f(x)), on a besoin de la dérivée de f. Quelle est la dérivée de exp(x) ? Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point (x,f(x)) ? Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de cette tangente avec l'axe Ox ? Quelle est la valeur de la distance PtQt ? Toutes ces questions sont très faciles pour un terminale ! La seule chose à faire est de bien étudier ton cours sur les exponentielles car c'est nouveau pour toi. Tu vérifies la dérivée de exp(x), et tu te lances !

Courage !

[Yumeno]

Merci beaucoup. C'est cette décomposition en plusieurs questions que je ne parvenais pas à faire.

J'en suis donc parvenu là :
exp'(t) = exp(t)
Tt : y = exp(t)(t-t) + exp(t) = exp(t).
Donc exp(t) doit être égal à 0, mais la fonction exponentielle est strictement positive sur R... Mouarf...

[Yumeno]

C'est le calcul de l'équation de la tangente qui doit être faux, mais je ne vois pas quoi faire...

[Quidam]

Merci beaucoup. C'est cette décomposition en plusieurs questions que je ne parvenais pas à faire.

J'en suis donc parvenu là :
exp'(t) = exp(t)
Tt : y = exp(t)(t-t) + exp(t) = exp(t).
Donc exp(t) doit être égal à 0, mais la fonction exponentielle est strictement positive sur R... Mouarf...

L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point (x0;f(x0)) est :
y = f(x0)+(x-x0)*f'(x0)

Ici, f(x)=exp(x), f'(x)=exp(x)

L'équation de la tangente au point (x0;f(x0)) est donc :
y = exp(x0)+(x-x0)*exp(x0)
Voilà déjà pour la tangente !