BARYCENTRE -DM un peu compliqué pr lundi

[mathonda]

Bonjour

J'ai à moitié résolu ce problème ,j'aimerais donc si possible qu'on me le corrige et qu'on maide pour les 3 dernières questions .

ABC est un triangle quelconque I; J et K sont les milieux respectifs de [BC] ; [CA] et [AB] .
G est le centre de gravité du triangle ABC.

1°) Démontrer par des égalités vectorielles l'équivalence des affirmations suivantes :

- G barycentre de (A;1) , (B;1) et (C; 1)
-G barycentre de (A;1) et (I;2)
- G barycentre de (B;1) et (J;2)
-G barycentre de (C;1) et (K;2)

G barycentre de (A;1), (B;1) et (C;1)
GA + GB + GC = 0
GA + (GB + GC) = 0
GA + 2GI = 0
G barycentre de (A;1) et (I;2)

De même ; (GA + GB) +GC = 0
2GK + GC = 0
Donc G barycentre de (K ;2) et (C ; 1)

(GA + GC) + GB = 0
2GJ+ GB = 0
G barycentre de (J;2) et (B;1) .


2°) On considère la transformation géométrique qui transforme tout point M en un point M' défini par :

(vect) GM' =MA + MB + MC

a)Quelle est l'image de G' de G ?

Rep : GG' = GA + GB + GC
GG' = 0
G= G'

b) En exprimant GA' en fonction d'un seul vecteur connu ,déterminer l'image A' de A

GA' = AA +AB + AC
GA'=AB +AC
GA' = 2AI

c) Même question pour B' ; C' et I'

Je trouve : GB'=2BJ
GC' =2GK
GI' = IA

3°) a) I' est-il le milieu de[ B'C'] ?


GI' = IA

or AI = 1/2 GA'
IA = 1/2 GA'

On en déduit GI' = 1/2GA'

Donc I' = m[ A'G ]

b)

b)Démontrer que G est aussi le centre de gravité du triangle A'B'C'

Là je sèche ...


c)Démontrer (vect) BC et B'C' colinéaires .

Là aussi ...

d)Que dire du triangle A'B'C' par rapport au triangle ABC ?

... ?

J'espère que vous voudrais bien m'aider .Merci.

[lamisslO]

Pour démontrer qu'un point est le centre de gravité d'un triangle, il fait démontrer que ce point est l'isobarycentre des sommets, c'est-à-dire dans ton cas, montre que G est l'isobarycentre de {(A;1),(B;1),(C;1)}.

[lamisslO]

Pour prouver que BC' et BC sont colinéaires, il faut que grâce aux relations vectorielles que tu as, tu trouve que BC' = k BC avec k n'importe quel réel R.