Exo sur les fonctions, LSM1

[maumo]

bonjour à tous j'ai un problème avec cet exercice.
je ne sais pas coment commencer.
merci de bien vouloir m'aider.

Soit f:[a,b] sur R une fonction continue telle que f(a)=f(b).
Montrer que la fonction g(t) = f(t+(b-a)/2) - f(t) s'annule en au moins un point de [a, (a+b)/2 ].

Application : une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer qu'il existe un intervalle de 30 mn pendant lequel elle parcourt exactement 2 km.

[Quidam]

Ben calcule g(a) et g((a+b)/2), tu verras bien !

[maumo]

je trouve
g(a)= f(a+b)/2) - f(a)

et g((a+b)/2)= f(b) - f((a+b)/2)

on sait que f(a)=f(b) donc
g(a)=f(a+b)/2) - f(b)

ensuite je fais comment?

[klevia]

g(a) et g((a+b)/2) sont opposés. g est continue. Un petit coup du théorème des valeurs intermédiaires et c'est gagné !!!
Comment ca fait plaisir !!!

[maumo]

Par contre pour l'application je n'y arrive pas.
Pouvez vous m'aider svp.

[AngeBlanc]

Application : une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer qu'il existe un intervalle de 30 mn pendant lequel elle parcourt exactement 2 km.

Mouarf, je suis content, j'ai trouvé. Vive la satisfaction en maths.

Alors, on cherche une fonction qui ait un lien avec la distance.
Ne connaissant pas la distance en fonction de t, posons :

Soit d(t) la distance parcourue de l'instant 0 à t (t dans [0;1]).

Evidemment, d(0) = 0 et d(t) = 4...

Soit la fonction f(t) = d(t) - 4t.

On a donc f(0) = 0 et f(1) = .... 0 !

Or, f est bien continue (eh oui, la personne ne se téléporte pas).

Conclusion, f respecte les conditions.

"(b-a)/2" est ici égal a 1/2.

f(t+1/2) - f(t) = d(t+1/2) - 4(t+1/2) - d(t) + 4t
= d(t) + distance de t à (t+1/2) - 4t - 2 - d(t) + 4t
= distance de t à (t+1/2) - 2

[Remarque : d(t+1/2) = Intégrale (v(x) dx, x = 0..t+1/2)
= Intégrale (v(x) dx, x = 0..t) + Intégrale (v(x) dx, x = t..t+1/2)
= d(t) + distance parcourue de t à t +1/2.]

Soit D(a,b) la fonction (a,b) -> d(b) - d(a) qui donne la distance parcourue de t = a à t = b.

Donc notre résultat est : D(t,t+1/2) - 2 s'annule au moins une fois sur [0;1/2]
Ce qui signifie quil existe (au moins !) un T tel que D(T,T+1/2) = 2
Or l'écart (T+1/2) - T = 1/2... c'est une demi-heure = 30 minutes.

Youpi !

On y est !

L'intervalle de 30 minutes pour faire 2 kilomètres existe !!

Bon courage ! :zen:

[maumo]

merci beaucoup c'est vraiment gentil.
Par contre pour la démonsrtration :
Montrer que la fonction g(t) = f(t+(b-a)/2) - f(t) s'annule en au moins un point de [a, (a+b)/2 ].
comment utilise-t-on te théorème des valeurs intermédiaire?
Merci d'avance! :happy2:

[anca]

t'as cette theoreme qui te dit que si une fonction a des valeurs oposse ds les bornes d'une intervalle alors surement ell e a une solution ds cette intervalle

[maumo]

Merci à tous vous êtes vraiment sympa