Exo sympa sur les fonctions périodiques

par **lieutenant R** » 30 Déc 2006, 19:42

slt a tous chui nouveau sur le forum et je pense partager la meme passion que vous avez pour les math ( hé ui chui en MPSI !! ) allé revenons a nous maths !

Soit f unapplication de D sous ensemble non vide de R vers R ; on appelle période de f tout réel t tel que ;

quelque soit x de R x appartient a D => x + t appartient a D
x - t appartient a D
f(x+t)=f(x)

on note Pf l ensemble des période de f , et f une application de d vers R

1°) montrer que Pf est un sous groupe de (R,+)
2°) que dire de D si Pf=R ? que dire alors de f ?

on suppose que Pf est différent de l ensemble vide

3°) que dire de Pf pour les fonctions sin, tan et x->x-E(x) ??

alors pour la première question j ai des difficultées pour montrer que Pf est stable , si vous pouvez me donner des indications et pour les deux autres questions je ne sais pas comment y répondre alors si vous avez une idées merci m aider ! chic a Cyr

par **BQss** » 30 Déc 2006, 19:57

lieutenant R a écrit:slt a tous chui nouveau sur le forum et je pense partager la meme passion que vous avez pour les math ( hé ui chui en MPSI !! ) allé revenons a nous maths !

Soit f unapplication de D sous ensemble non vide de R vers R ; on appelle période de f tout réel t tel que ;

quelque soit x de R x appartient a D => x + t appartient a D
x - t appartient a D
f(x+t)=f(x)

on note Pf l ensemble des période de f , et f une application de d vers R

1°) montrer que Pf est un sous groupe de (R,+)
2°) que dire de D si Pf=R ? que dire alors de f ?

on suppose que Pf est différent de l ensemble vide

3°) que dire de Pf pour les fonctions sin, tan et x->x-E(x) ??

alors pour la première question j ai des difficultées pour montrer que Pf est stable , si vous pouvez me donner des indications et pour les deux autres questions je ne sais pas comment y répondre alors si vous avez une idées merci m aider ! chic a Cyr

Stabilité:
si x appartient a D et t2 est une periode alors x+ t2 appartient a D, et donc si t1 est aussi une periode x+t2+t1 appartient a D et donc si t1 et t2 sont des periodes alors si x appartient a D, x+t1+t2 appartient aussi a D. Pareille pour x-t.

De plus
si t1 est une periode et t2 est une periode alors:
f(x+(t1+t2))=f((x+t2)+t1)=f(x+t2)=f(x)
donc t1+t2 est une periode

Pf est stable pour +

2)Si Pf=R, soit D est l'ensemble vide soit il existe un x qui appartient a D et alors x+t doit appartenir a D d'apres la definition d'une periode t mais t appartient a R ici par hypothese, donc x+t appartient a R, donc D decrit l'ensemble des réels et D=R, f elle est alors constante... C'est a dire que on a f((x+t)=f(x) quelque soit t appartient a R par definition d'une fonction de periode Pf=R, ce qui revient a dire que f(y)=f(x) pour tout x et y appartiennent a R en posant y=x+t... Donc f est constante.

3)Pf(sin)={2kPI, k appartient a Z} par definition
Pf(tan)={kPI, k appartient a Z} par definition

Pf(x->x-E(x)={k, k appartient a Z}
C'est une fonction en escalier qui vaut y=x translaté de k sur chaque intervalle [k;k+1[. A chaque fois que x=k il y a un saut et on revient à 0 pour recroitre à nouveau jusqu'a 1 exclu et on recommence.

Demontrons que Pf(x->x-E(x))={k, k appartient a Z}:
Si k appartient à Z
E(k+x)=k+E(x)
donc f(x+k)=(x+k)-E(k+x)=(x+k)-[k+E(x)]= x- E(x) =f(x)
On a donc {k, k appartient a Z} inclu dans Pf.
Montrons alors que Pf(x->x-E(x))={k, k appartient a Z}.
On sait egalement que pour tout x appartient à ]k;k+1[ x->x-E(x) est strictement croissante donc f(x) different de f(y) si x different de y et x,y appartient à ]k;k+1[.
Et si x appartient à ]k;k+1[ et y appartient à ]k+1;k+2[ alors on a sait que soit y=x+1 et alors f(x)=f(y), soit y est different de x+1, et alors comme x->x-E(x) est strictement croissante sur ]k+1;k+2[ f(y) est different de f(x+1) et donc different de f(x), k=1 est donc la plus petite periode possible car les intervalles ]k;k+1[ sont de tailles 1 et que l'on a prouvé que sur ]k;k+1[U[k+1;k+2[=]k;k+2[ de taille 2, pour chaque x il n'y avait qu'un seul y tel que f(x)=f(y) c'est le y=x+1, s'il y a d'autre periodes elles sont donc forcement >1.
De plus toute les periodes etant les multiples de la plus petites* on en deduitPf(x->x-E(x)={k, k appartient a Z}.

*si t est une periode alors f(x+kt)=f(x+t+...+t)=f(x+t)=f(x) avec k appartient a Z. On a donc kt une periode aussi si k appartient a Z.
Si t est une periode supposons la plus petite et k n'appartient pas a Z, supposons que kt est une periode, on alors pour tout x:
f(x)=f(x+kt)= f(x+kt-E(k)t])=f(x+at) avec a=k-E(k) et donc 0x-E(x)={k, k appartient a Z}

par **lieutenant R** » 31 Déc 2006, 12:05

waou et tu en sur ??? tu fais quoi comme étude ?? est ce qu on peut dire que c est une exercice difficilie ou pas pour une MPSI ?? en tout cas merci beaucoup !

par **Gary O** » 31 Déc 2006, 13:59

lieutenant R a écrit:waou et tu en sur ??? tu fais quoi comme étude ?? est ce qu on peut dire que c est une exercice difficilie ou pas pour une MPSI ?? en tout cas merci beaucoup !

Salut,
je dirais que c'est un exercice assez facile de MPSI. Il ne faut pas que tu aies peur à cause de la longueur apparente des preuves données par BQss. Avant de te lancer dans la rédaction de la preuve, essaie de voir le problème, en raisonnant par exemple sur des exemples simples. Je pense que tu peux facilement comprendre que la somme de deux périodes est encore une période, une fois que tu l'as compris c'est plus facile à écrire. Pour ta fonction x-E(x), représente la sur une feuille, ça sera tout de suite plus clair (il est toujours bon de faire une dessin en maths

).
Il y a pas mal d'exercices à faire sur les périodes en sup, qui sont souvent liés aux exercices sur les groupes. Exemple que peut-on dire d'une fonction continue qui admet 1 et sqrt(2) pour périodes? Ca utilise la structure des sous groupes de R (peut-être as-tu déjà entendu parler de densité?). Enfin j'en dis pas plus, j'ai peur de t'embrouiller. ^^

par **lieutenant R** » 31 Déc 2006, 14:44

[quote="Si Pf=R, soit D est l'ensemble vide
QUOTE"]

ok merci mais pourquoi au petit 2) tu dit que D peut etre un ensemble vide ???? merci

par **BQss** » 31 Déc 2006, 14:51

lieutenant R a écrit:
Si Pf=R, soit D est l'ensemble vide
QUOTE a écrit:
ok merci mais pourquoi au petit 2) tu dit que D peut etre un ensemble vide ???? merci

Car si D est l'ensemble vide on a bien quelque soit x appartient a D la propriété qui est verifié puisque aucun x n'a a remplir les conditions. Il faut donc ennoncée cette possibilité pour rester coherant.

Mais ca tombe bien, puisque dans ton enoncée le prof precise "on suppose dans l'ex que D n'est pas l'ensemble vide", donc on mentionne cette possibilité puis on l'ecarte.

exemple:
Soit la propriété, toute personne qui est dans cette sale a un chapeau.
S'il n'y a personne dans la sale, la propriété est verifiée, car il est exacte de dire que toute personne dans cette sale a un chapeau, juste qu'il n'y a pas personne, donc personne ne peut compromettre la regle qui est donc verifiée.

par **lieutenant R** » 31 Déc 2006, 15:30

ok meri beaucoup mais j ai une autre question !! dsl
c est toujours la question 1) pour montrer que Pf est un sous groupe de R comment faire pour montrer que Pf contient les symétriques de tous ses éléments ? Est il suffisant de dire que quelque soit x , t appartenant a R^2 il existe x1, t1 tel que x+x1 + t+ t1 =0 ??? voila je pense que ce sera tout !! et sinon tu fais quoi comme étude bqss ???

par **nuage** » 31 Déc 2006, 15:56

Salut,
Si t est une période on a x dans D entraine x-t=x+(-t) dans D idem pour x-(-t)=x+t.
De plus f(x-t)=f(x-t+t)=f(x) donc f(x+(-t))= f(x) cqfd.

et bonne année 2007.

par **lieutenant R** » 31 Déc 2006, 17:28

et si on ve montrer que Pf inter R*+ est une partie minoré de R comment fait on ? on note a sa borne inférieure

et si maintenant on a a=0 comment montrer que Pf inter R*+ n a pas de plus p'tit élément ?

merci encore !

par **mathelot** » 31 Déc 2006, 19:05

si ton ensemble avait un plus petit élément, ce serait sa borne inférieure

.
or sa borne inférieure n'appartient pas à l'ensemble.

par **BQss** » 01 Jan 2007, 09:36

lieutenant R a écrit:et si on ve montrer que Pf inter R*+ est une partie minoré de R comment fait on ? on note a sa borne inférieure

et si maintenant on a a=0 comment montrer que Pf inter R*+ n a pas de plus p'tit élément ?

merci encore !

R+* est une partie minorée de R (de borne inf 0). il existe donc un element de R tel que tout element de R*+ est superieur a cet element. Comme Pf inter R+* est inclu dans R+*, on en deduit que tout element de de Pf inter R+* appartient aussi à R+* et est donc superieur a un minorant de R+* cette partie est donc minorée.*

*En supposant que Pf n'est pas l'ensemble vide comme le demande ton prof(de toute facon il contient au moins 0 (f(x+0)=f(x)), (la defintion du minorant exclu le cas de l'ensemble vide, il faut donc s'assurer que cet ensemble n'est pas vide) , d'autre part on sait que a partir du moment ou Pf possede un element, il possede forcement aussi un element positif, soit parce que cet element est positif, soit parcequ'il est le symetrique d'un element negatif, donc Pf inter R+* n'est pas l'ensemble vide, (si on suppose que cet unique element n'est pas l'element absurde 0 qui est une periode pour toute fonction de toute facon).

Si non comme t'as dit Mathelot, a partir du moment ou on definit a=0 comme sa borne inf, on implique que 0 est le plus grand element tel que tout element de Pf inter R+* lui soit superieur. Tout element plus grand que la borne inf ( qui est 0 ici) ne peut donc par definition etre inferieur a tout element de cet ensemble sauf si c'est la borne inf. Or tout element de R+* inter Pf est superieur a la borne inf par definition mais ne lui est pas egal car cet ensemble ne la contient pas, en effet 0 n'est pas dans R+*( ou tu peux dire: Or R+* est uniquement composé d'element superieur a 0 et donc R+* inter Pf aussi). Il n'existe donc aucun element de cet ensemble tel que tout ses elements lui soit superieur, et c'est precisement la definition du plus petit element s'il existe, il n'existe donc pas.

Tu peux aussi dire(c'est ce qu'a dit mathelot):
La definition du plus petit element d'un ensemble c'est l'element tel que tout les elements de cet ensemble lui soit superieur. S'il existe c'est donc aussi la borne inf de cet ensemble, car on sait deja que c'est un minorant, mais c'est aussi le plus grand minorant car tout element de l'ensemble qui lui est superieur n'est pas un minorant car au moins superieur a lui et donc ne repond plus alors a la definition de minorant, on peut ainsi par definition appliquer le meme raisonnement a chacun des elements de l'ensemble, le plus petit element s'il existe est bien la borne inf. Dans notre cas ici la borne inf n'appartient pas a l'ensemble, l'ensemble ne possede donc pas de plus petit element car cette hypothese est incompatible avec les contidions de son existence(si le min existe c'est la borne inf et donc la borne inf est dans l'ensemble et c'est le min, comme la borne inf n'est pas dans l'ensemble c'est donc qu'il n y a pas de min si non elle y serait et ce serait lui) et on a ainsi prouvé qu'il n'existait pas par l'absurde(en pratique pour les demos par l'absurde tu supposes d'abord qu'il existe et c'est apres que tu aboutis a la contradiction, mais la c'etait pour t'expliquer).

Si non je fais des maths comme tout le monde ici et comme toi

. Tu peux cliquer sur les pseudos, parfois il y a des infos qu'on a bien voulu mettre.
Bonne année.

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