Dm sur les complexes

[thomas5495]

Bonjour j'ai un DM sur les complexes à faire mais je n'arrive pas:

(O;u;v) est un repère orthonormal direct du plan complexe. F est l'application du plan complexe dans lui-même qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe f(z)=(z+iz(barre))/2.

1) Montrer que l'ensemble D des points M dont l'affixe z vérifie f(z)=z est une droite.
2) a) Montrer que le nombre (f(z)-z)/(1-i) est réel.
b) En déduire que M' appartient à la droite deltaM passant par M et de vecteur directeur u-v.
3) a) Montrer que pour tout nombre complexe z: f(f(z))=f(z).
b) Déduire des questions précédentes que M' est le point d'intersection des deux droites D et delta M.

A la question 1), j'ai trouvé que l'ensemble D des points est la droite y=x.
Et à la question 2) a) j'ai trouvé que (f(z)-z)/(1-i)=(-x+y)/2 ce qui prouve que le nombre est réel.
Mais pour le reste je n'arrive pas..

[johnjohnjohn]

Bonjour j'ai un DM sur les complexes à faire mais je n'arrive pas:
2) a) Montrer que le nombre (f(z)-z)/(1-i) est réel.
b) En déduire que M' appartient à la droite deltaM passant par M et de vecteur directeur u-v.

Que représente géométriquement f(z)-z ?
Que représente géométriquement 1-i ?

Qu'implique ( toujours géométriquement ) que le rapport (f(z)-z)/(1-i) est réel ? ( voir ton cours sur les arguments )

[thomas5495]

Je viens de trouver pour la question 3). Je suis reparti de la réponse du 2) pour trouver que

f(z)=(1-i)*((-x+y)/2)+z
or (1-i) est l'affixe de u-v(fleché)

ce qui prouve que M' (f(z)) appartient à la droite deltaM passant par M (z) et de vecteur directeur u-v(fleché).

Mais en ce qui concerne les deux autres questions je reste coincé.

[johnjohnjohn]

Je viens de trouver pour la question 3). Je suis reparti de la réponse du 2) pour trouver que

f(z)=(1-i)*((-x+y)/2)+z
or (1-i) est l'affixe de u-v(fleché)

ce qui prouve que M' (f(z)) appartient à la droite deltaM passant par M (z) et de vecteur directeur u-v(fleché).

Mais en ce qui concerne les deux autres questions je reste coincé.

Disons qu'il manque un peu de détails là ....

[thomas5495]

J'ai un peu plus détaillé sur ma copie ^^.
Parcontre pour la question 3 je ne vois pas comment démontrer que
f(f(z)) = f(z)

Je suis parti de f(z) j'ai développé et j'ai trouvé
f(z) = (x+y+i(x+y))
Je pensais trouver la même chose en développant f(f(z)) mais en développant j'ai trouvé quelque chose de différent:
f(f(z)) = (i(x-y))/2

Est-ce ma méthode qui n'est pas bonne ou une erreur de calcul?

[hicham1979]

je crois qu'il y a une erreur dans ton f(z).
Pour moi,
f(z)=1/2*[(x+y)+i(x+y)]
Avec ça tu devrais trouver la suite
:++: