Fubini

[Silverk]

Bonjour à tous,
Voici mon "problème" : Soit une fonction définie sur telle que :
1) est de classe sur
2)

Peut-on affirmer avec le théorème de Fubini que POUR TOUT ???? (ou bien a-t-on seulement la propriété pour presque-tout ?)

Bien cordialement

[achille]

En effet si nous posons n égale p égalent 1, avec f(x,y)=y^2, l'intégrale sur R*R sera 0, donc inférieure à l'infini, mais l'intégrale sur R, sur y, sera infinie, non ? Les génies help... :mur:

[BQss]

Bonjour à tous,
Voici mon "problème" : Soit une fonction définie sur telle que :
1) est de classe sur
2)

Peut-on affirmer avec le théorème de Fubini que POUR TOUT ???? (ou bien a-t-on seulement la propriété pour presque-tout ?)

Bien cordialement

Si c'est inferieur a l'infini c'est que l'integrale de f+ et de f- sont intégrables et donc que c'est intégrable, i.e que integrale de |f| est fini.

Fubini s'applique donc et on a:
int(fdy) finie presque partout, c'est a dire presque pour tout x( au sens de la mesure de lebesgue dx) et int(fdx) finie presque pour tout y aussi.
car en effet l'integrale en dxdy est finie et comme int(fdxdy)=int(int(fdx)dy)=int((fdy)dx) cela implique le resultat ci dessus; sans quoi, il y aurait contradiction car l'integrale ne serait plus fini si respectivement les integrales en dx et dy n'etait pas fini presque partout...
On a utilisé la fait que pour toute fonction mesurable g, int(g) est fini implique que g est finie presque partout.

PS: La propriété de classe C infini est inutile ici. Il suffit que la fonction soit mesurable par rapport a la tribu borelienne .

[Silverk]

Mais en fait ma question était :

est-ce que le fait que soit en n'apporte pas justement que est finie POUR TOUT ?

[BQss]

Mais en fait ma question était :

est-ce que le fait que soit en n'apporte pas justement que est finie POUR TOUT ?

en theorie de la mesure, on definit des classes d'equivalence de fonctions égales presque partout, donc il existe en effet une fontion = presque partout a f (si ce n'est f elle meme) tel que int(fdx) et int(fdy) soit finie absolument partout, mais ceci n'est pas du au caractere c infini .
C'est aussi le cas si on se contente de supposer f mesurable, il y a un representant fini partout. Maintenant en considerant le cas ou f est C infinie je ne vois pas ce que cela rajoute sur le resultat des integrales en dx et en dy, le resultat de l'integrale ne fournissant que des resultats ou des propriétés valables presque partout.

De plus comme tu consideres R tout entier, on integre pas sur un compact et donc le caractere C infini n'implique pas que la fonction soit bornée et donc sans considérer ce que j'ai rappelé ci dessus il n'y aurait aucune raison que cela change quelquechose par rapport a une fonction simplement mesurable. Enfin ce que je dis la est inutile, le premier point, c'est ce qui est important.



Par contre et la ca n'a plus rien a voir avec les integrales, i.e tu ne consideres plus une classe d'equivalence et donc ne parle plus de presque partout, ta question est juste:

Est ce que une fonction continue est partout finie?
Si la reponse est oui tu as ta reponse, si c'est non tu l'as aussi.
Ma reponse est oui une fonction continue est partout finie, mais on est pas ammener a repondre a cegenre de questions en theorie de la mesure, on se contente du presque partout puisqu'on bosse sur des classes d'equivalence et que c'est des quantités presque partout qui nous interesse.

Ici il suffit juste donc de montrer que si f est Continue et integrable alors int(fdx) et int(fdy) sont continues .
Comme f est continue d'apres le theoreme de lebesgue il te reste plus qu'a montrer si elle sont bornées ou pas respectivement par un g(y) et un h(x) integrables (respectivement pour tout x et tout y).
Et la je te repondrai que ce n'est pas tout le temps le cas, il n'y a pas toujours un majorant intégrable meme si f est C infini.