Géométrie dans l'espace (1ere S)

[poincaré]

Bonjour tout le monde.

Nous sommes en fin d'année de première et nous abordons des exercices concernant la géométrie dans l'espace mais ces exercices sont (je pense) du niveau de terminale.

J'ai donc quelques soucis a la résolution de ces exercices.

je souhaiterais que vous me guidiez dans le raisonnement sans me donner la réponse, j'aimerais le temps de la reflexion je vous prie.

Enoncé : Soient P4, P5 et P6 3 plans d'equations cartésiennes repectives
x + y + z - 2 = 0 ; x - y + 1 = 0 et 3x + y + z - 4 = 0.

1) quelle est la nature de l'intersection de ces 3 plans ? en déterminer les coordonnées.
2) Déterminer les coordonnées du point commun plan P4 avec l'axe des abscisses.

reponse au 1)
Mon raisonnement est le suivant : D'apres l'équation du plan P4 il admet un vecteur normal n4 (1;1;1)
P5 admet un vecteur normal n5 (1;-1;0)
P6 admet un vecteur normal n6 (3;1;1)

Les 3 vecteurs normaux ne sont pas colinéaires donc ces derniers se coupent.
calculons le produit scalaire de n4 et n5.
on remarque que n4 . n5 = 0
donc n4 et n5 sont orthogonaux donc P4 et P5 sont orthogonaux.
n6 coupe n4 et n5. donc L'intersection de ces 3 plans est un triangle rectangle.

en revanche je ne vois pas comment calculer les coordonnées de leurs intersections.
Je peut calculer leur norme mais quel est le rapport entre norme et coordonnées ?
J'aimerais obtenir de l'aide pour determiner les coordonnées je vous prie...

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Amicalement.

[The Void]

Salut,

Les 3 vecteurs normaux ne sont pas colinéaires donc ces derniers se coupent.
calculons le produit scalaire de n4 et n5.
on remarque que n4 . n5 = 0
donc n4 et n5 sont orthogonaux donc P4 et P5 sont orthogonaux.
n6 coupe n4 et n5. donc L'intersection de ces 3 plans est un triangle rectangle.

On te demande l'intersection des 3 plans simultanément, là j'ai l'impression que tu essaie de trouver une intersection entre seulement 2 plans

1)Il faut que tu cherches l'ensemble des points M(x;y;z) tel que
x + y + z - 2 = 0 ;
x - y + 1 = 0
et 3x + y + z - 4 = 0

Ensuite tu peux faire 2 substitutions, c'est à dire isoler une variable dans une ligne pour la remplacer dans une autre, si à la fin tu trouve des valeures uniques pour x,y,z l'intersection est un point, si tu trouves des valeurs impossibles (5=0 par exemple) il n'y a pas d'intersection, et si tu trouves des valeurs vraies quel que soit la variable (0*x=0 par exemple) c'est une droite sauf si les plans sont confondus.

[poincaré]

Bonjour.

J'ai suivit vos instructions pour le 1).

j'ai cherché l'ensemble des points M(x;y;z) tel que
x + y + z - 2 = 0 ;
x - y + 1 = 0
et 3x + y + z - 4 = 0

En appliquant la méthode par substituion je trouve :
2x-2 = 0 soit x = 1 P6 - P4
dans x-y+1=0 je remplace x par 1 je trouve y = 2
Enfin en remplaçant x et y par leur valeurs je trouve
3-2 + z = 0 soit z = -1

Donc si je suis votre raisonnement,
l'intersection des 3 plans est un point M(1;2;-1).

Une derniere question : 2) déterminer les coordonnées du point commun plan (P4) avec l'axe des abscisses.
J'ai trouvé la réponse ainsi que le raisonnement :

mon raisonnement : Le plan P4 a pour equation cartesienne x + y + z - 2 = 0
le point commun avec l'axe des abscisses notons le A est defini sur la droite (O;i).
donc A(a;0;0).
Le plan P4 au niveau de l'intersection a donc pour équation x-2=0
donc x=2.
Les coordonnées du point A sont donc A(2;0;0).

ce qui me gene c'est le manque de rigueur de la démonstration.
Nous n'avons jamais vu le cours et en feuilleutant le cours de terminale S
Ils disent qu'il est plus rigoureux d'utiliser une méthode par substitution.

Si vous pouviez écrire cela de manière plus rigoureuse je vous en remercierait.

Amicalement.

[poincaré]

Bonjour,

J'ai tracé l'intersection des 3 plans et leur intersection n'est pas le point M(1;2;-1).

Ya t-il une erreur ?

Amicalement.