Proba merci de votre aide!

[tinalopez]

Un questionnaire à choix multiples consiste à répondre successivement à 4 questions indépendantes. Pour chaque question, 3 réponses sont proposérs dont une seule est correcte. Un candidat répond au hasard à chaque question.
1) on appelle X le nombre de bonnes réponses Etudier X (loi de proba, espérance, écart-type)
2) On appelle Y la proportion de bonnes réponses. Etudier Y
3) On appelle Z le score du candidat, sachant que chaque bonne réponse rapporte deux points t chaque mauvaise enlève un point. Etudier Z.

alors je ne sais pas du tout comment démarré pour trouver la loi de proba...
aidez moi svp..
merci!

[titine]

X étant le nombre de bonnes réponses, X peut être égal à 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4.
Pour chaque question il y a 3 réponses possibles. En répondant au hasard il a 1 chance sur 3 d'avoir la bonne réponse et 2 chances sur 3 d'avoir une mauvaise réponse.
De plus les questions sont indépendantes.
Donc :
P(X=0) = 2/3*2/3*2/3*2/3 = ....
P(x=1) = 1/3*2/3*2/3*2/3
P(x=2) = 1/3*1/3*2/3*2/3
etc ......

Est ce clair ?

[tinalopez]

oui c'est clair merci donc je trouve pour
P(X=O) = 16/81
P(X=1)= 8/81
P(X=2)=4/81
P(X=3)=2/81
P(X=4)=1/81

mais le total ne devrait pas être égale à 1 ?
comment on fait pour trouver l'espérance et l'écart-type après ?
merci bcp pour votre aide

[titine]

Excuse moi je t'ai dit n'importe quoi......!
De l'intérêt de vérifier que la somme des proba égale 1 !

On recommence. Il s'agit d'une loi binomiale avec p=1/3 et n=4.
Donc :
P(X=0) = (0 parmi 4) (1/3)^4
P(x=1) = (1 parmi 4) (1/3)^3*(2/3)^1
P(x=2) = (2 parmi 4) (1/3)^2*(2/3)^2
etc.....

Pour calculer l'espérance et l'écart type, utilise les formules sur la loi binomiale ....

[tinalopez]

ah d'accord merci beaucoup je comprend mieux merci !!

[tinalopez]

pour le b) c'est bien ça ?
Pour la loi de probabilité de Y, je pense que c'est {0, 1/4, 2/4, 3/4, 1}.

Ensuite, les probabilités de chaque évènement, j'ai mis les mêmes que précédemment, c'est-à-dire:
P(Y=0)= P(X=0) = 0.1975
P(Y=1/4)= P(X=1) = 0.3951
etc...

D'où, l'espérance:
E(Y)= 0*0.1975 + 1/4*0.3951 + 2/4*0.2962 + 3/4*0.09877 + 0.01235
= 0.33

La variance:
V(Y)= E(Y²)-E(Y)²
= 1/16*0.3951 + 4/16*0.2962 + 9/16*0.09877 + 0.01235 - 0.33²
= 0.02469 + 0.07405 + 0.05556 + 0.01235 - 0.1089
= 0.05775

Et l'écart-type: (V(Y))^(1/2) = (0.05775)^(1/2) = 0.24

[tinalopez]

comment fait-on pour le 3 ) je ne vois pas merci de m'aider!

[titine]

Les valeurs prisent par Z sont :
8 si 4 réponses justes
5 si 3 réponses justes et 1 fausse.
2 si 2 justes et 2 fausses.
-1 si 1 juste et 3 fausses.
-4 si 4 fausses.
Donc P(Z=8) = P(X=4)
P(Z=5) = P(X=3) ...............