Prob Ln,integrales

[waxweazle]

Bonsoir,
Je galère sur cette exo depuis cet aprem, j'ai deja été aidé par un membre du forum sur une partie de cet exo et je le remercie, mais je le remets ici en entier car je galère vraiment trop..
si quelqu'un peut m'aider..

Exo :

On condisère la fonction f définie sur ]0;+inf[ par f(x) = x+2(lnx/x)

*1ere partie :
1- Calculer f'(x). Verifier que f'(x)=g(x)/x² où g(x) = x²+2-2lnx
(ci dessus, c'est fait)
2- Soit la fonction définie sur ]0;+inf[ par g(x) = x²+2-2lnx
Etudier les variations de g
En deduire le signe de g
(ci dessus, c'est fait aussi)
3- Des resultats precedents, deduire le sens de variation de f (à faire)

*2eme partie (à faire)
1- Demontrer que la limite de f en 0 est -inf
2- Demontrer que la limite de f en +inf est +inf
et que la droite D d'equation y=x est asymptote à C en +inf.
3- Etudier les positions relatives de C et de D
Preciser les coordonnées de leur point d'intersection I
4- Tracer la droite D et la courbe C.

*3eme partie (à faire egalement)
On note A l'aire, exprimée en cm², de la partie du plan limitée par la courbe C, la droite D, les droites d'equations : x=1 et x=4.
1- Calculer l'integrale de 1 à 4 de 2lnx(1/x) dx
2- Representez sur le graph l'aire A, calculer sa valeur exacte à 2 decimales près.



help :'(
merci..

[emdro]

bonsoir,

avec le signe de g, je ne vois pas ce qui te bloque pour le sens de variation de f...

[prody-G]

salut

hmm pour le sens de variation, tu as le signe de g, donc le signe de f', donc les variations de f non ?

[prody-G]

c'est la deuxième fois je vois pas que tu réponds emdro lool
désolé !!

[emdro]

On bosse en parallèle; je ne m'offense pas!

[waxweazle]

merci vs tous, je repasse dans la soirée, je bosse à coté ^^
merci bcp

[prody-G]

au temps pour moi ou autant pour moi lool

par contre pour la 2e partie je trouve limf en 0 = -inf

[emdro]

Ok avec Prodi-G!

[prody-G]

pour la limite suivante tu fais appel à une petite croissance comparée, de même tu en as besoin pour justifier l'asymptote en +inf.

[waxweazle]

au temps pour moi ou autant pour moi lool

par contre pour la 2e partie je trouve limf en 0 = -inf

exact, erreur d'enonçé ^^

[waxweazle]

2eme partie :

1- limite de f en 0 :

lim x = 0
x ->0
lim lnx = -inf
x ->0

donc ==> lim f = -inf
x ->0

2- limite de f en +inf :

lim x = +inf
x ->+inf

lim 2(lnx/x) = 0
x -> +inf

donc ==> lim f = +inf
x ->+inf


ca ressemble à ça ?

[sue]

exact ! (à moins que c la limite en 0+)

pour la suite tu calcule lim f(x)-x qd x td vers +oo pour en déduire la branche infinie demandée .
3) tu détermine le signe de f(x)-x
rappel :
si c positif C est au dessus de D
si c négatif C est au dessous de D
si f(x)-x=0 la résolution de cet équation te donne l'abscisse du point d'intersection I .

[waxweazle]

pour la 3eme partie, quelqu'un a une idée au sujet de la primitive de 2lnx(1/x) pour calculer l'integrale ..?
merci..^^

[emdro]

c'est pas 2uu'?

[waxweazle]

u etant le produit 2lnx*1/x ?

[waxweazle]

u = 2lnx
v = 1/x

int f(x) = uv - int (uv')

nan ?

[emdro]

Tu ne connais pas une primitive directement de 2uu'?

[waxweazle]

elle ne me vient pas à l'esprit, nan :/

[waxweazle]

quelqu'un a une idée ? :/

[prody-G]

Je connais pas de formule de 2uu' mais ici une primitive de 2(lnx)/x peut se trouver avec des petites "manipulations":
= 2 x lnx x (1/x)

décompose ça sous la forme d'une somme et ça apparaît tout seul.

Par contre pour la première limite je ne sais pas si ton prof appréciera ta justification un peu brève...il faudrait utiliser une croissance comparée ou un changement de variable, mais bon si ce résultat te paraît évident tant mieux ^^.