{ts] démonstration

[Lalyo]

Bonsoir,

Voilà mon problème :
a, b et c sont des réels positifs.
Lequel des deux nombres a+b+c et 3 fois racine 3éme de abc est le plus grand.

Voilà, comment peut-on commencer cette démonstration ??

j´ai pensé à un encardrement mais à mon avis c´est pas la bonne solution...

Si quelqu´un peut m´aider, je le remercie d´avance !!

[The Void]

Salut,
a+b+c = ((a+b+c)^3)^(1/3)
a+b+c = ((a+b+c)*(a+b+c)*(a+b+c))^(1/3)

Or, a, b, c sont positifs
=> a+b+c > a, a+b+c > b, a+b+c > c
=> (a+b+c)*(a+b+c)*(a+b+c) > abc
=> a+b+c > (abc)^(1/3)

Rain', tu es en prépa? (non ce n'est pas au programme de term S ^^)

[The Void]

Ah, mince, j'avais complétement zappé ce 3...
Du coup ca devient nettement plus compliqué :triste:

[The Void]

Ca ma pris un moment, mais je crois avoir trouvé quelque chose qui tient la route :)

Si abc>0:
On veut demontrer a+b+c >= 3*(abc)^(1/3)
Soit (a+b+c)^3 >= 27abc
((a+b+c)^3)/abc >= 27 (abc>0)

On pose f la fonction définie sur ]0; +infini[ par f(x) = (x+b+c)^3/xbc
f'(x) = (3(x+b+c)² * xbc - bc*(x+b+c)^3)/(xbc)²
f'(x) = (bc(x+b+c)² * (3x - (x+b+c))/(xbc)²
bc>0, (x+b+c)²>0, (xbc)²>0
=> f'(x) = 0 <=> 3x-x-b-c=0 <=> x=(b+c)/2
f'(x)<0 pour x € ]0; (b+c)/2[ et f'(x)>0 pour x € ](b+c)/2; +infini[
=> f(x) admet un minimum pour x=(b+c)/2

f((b+c)/2) = ( (b+c)/2+b+c )^3 / (bc((b+c)/2))
f((b+c)/2) = ( (3b+3c)/2 )^3 / (bc((b+c)/2))
f((b+c)/2) = (27 ((b+c)/2)² ) / bc
f((b+c)/2) = 27(b+c)² / 4bc
Cherchons le signe de (b+c)²-4bc
(b+c)²-4bc = b²+2bc+c²-4bc = b²-2bc+c²=(b-c)²
Or, (b-c)²>=0
=>f((b+c)/2) >=27
=>f(x)>=27 (car f((b+c)/2) est le minimum de f)
=>((a+b+c)^3/abc >= 27
=>a+b+c >= 3*(abc)^(1/3)

Si abc = 0: immédiat

[Lalyo]

Moi j'ai étudié le signe de cette fonction : f:x->x+b+c - 3*(racine 3eme)(xbc)
donc j'ai calculé la derivée et tout le tralala