G besoin d'aide pour un DM de maths a propos de la trigonométrie et les barycentres.

[max 12]

ABCD est un rectangle.Le but est de trouver l'ensemble T des points M du plan tels que //MA + MB +MC+ MD// ( en vecteur) =:: MA - MB - Mc + Md//
Prouver ke pour tou point M
ma - mb- mc + md = -2ab
réduisez la somme ma + mb+ mc + md
déduisez en que l'ensemble T est un cercle dont vous préciserz le centre et le rayon
justifiez que les milieux de BC et AD sont T et tracer T.
Merci d'avance

[titine]

Fais l'effort de taper correctement ton texte même si tu n'utilises pas TEX. Attention aux majuscules et aux minuscules ...
Donc je suppose que tu as llMA + MB +MC+ MDll = llMA - MB - MC + MDll
Et que tu veux prouver que pour tout point M
MA - MB - MC + MD = -2AB

Il suffit d'appliquer la relation de Chasles (Dans tout ce qui suit il s'agit de vecteurs) :
MA-MB-MC+MD = MA+BM+CM+MD = (BM+MA)+CD = BA+CD
ABCD étant un rectangle CD = BA
Donc MA-MB-MC+MD = 2BA = -2AB

Réduire la somme MA + MB + MC + MD :
D'après la relation fondamentale du barycentre,
MA+MB+MC+MD = (1+1+1+1)MG = 4MG, où G est l'isobarycentre de A,B,C et D.
Or l'isobarycentre des sommets d'un rectangle est le centre de ce rectangle, c'est à dire le point d'intersection de ses diagonales.

Donc dire que M vérifie llMA + MB +MC+ MDll = llMA - MB - MC + MDll
revient à dire que ll4MGll = ll-2ABll
Ou 4llMGll = 2llABll
Ou llMGll = 1/2 llABll
Et dire que la longueur MG est égale à la longueur AB divisée par 2, signifie que le point M appartient au cercle de centre G et de rayon AB/2.

Conclusion T est le cercle de centre G (centre du rectangle) et de rayon AB/2.

Merci de me dire si tu as compris.