Conclure sur la dérivabilité en un point

[max59]

Bonjour,

Soit une fonction f(x) = rac[(x-Arctan(x))/(x^2.Arctan(x))]

Apres un petit DL, on voit que cette fonction est prolongeable par continuité en posant f(0)=rac(1/3)

Bref , la fonction est donc continue en 0.

Concernant la derivabilé en 0, est-elle dérivable si oui pourquoi?


J'ai un doute la dessus.
continue-> derivable ou bien derivable->continue

Merci

[maf]

Dérivable --> continue

En effet une fonction continue sur un intervalle n'est pas forcément dérivable sur cet intervalle

[fahr451]

bonjour

dérivable-> continue

il ne sert à rien de savoir faire un dl si on a oublié ceci

rappel :

dérivable en a <=> existence dl à l'ordre 1 (après un prolongement éventuel donné par le dl)


continue en a <=> existence dl ordre 0 ( (idem)

or existence dl d'orde n+1 => existence dl d 'ordre n

as tu fait un dl à l'ordre 1 ?

[max59]

oui, je me doutais que la continuité n'entraine pas systématiquement la dérivabilité ! ;)

Pour cette fonction il n'existe pas de dl à l'ordre 1 (disons que que ce dl ne présente pas de terme en x)

Peux t-on conclure que la fonction n'est pas dérivable?

Je ne connais pas cette méthode, je pensais plûtot à déterminer si la limite de [f(x)-rac(1/3)]/x est finie ou pas en 0?

Je pense que ta méthode revient au même finalement, non?

Merci

[fahr451]

tu ne confondrais pas

"pas de dl à l'ordre 1" avec "un dl à l 'ordre 1 dont le terme en x est nul "?

oui c 'est équivalent en théorie

mais en pratique qu'est il préférable de faire
un dl à l'ordre 1 directement ou
un dl à l'ordre 0 suivi d'un dl à l'ordre 1 ( car il faudra le faire pour le numérateur du taux d'accroissement)?

[max59]

oui pour être exact sur le vocabulaire employé ;)

[max59]

un dl à l'ordre 1 bien sur
Autant faire d'une pierre 2 coups et obtenir tt de suite la valeur du prolongement de la fonction par continuité ainsi que sa dérivabilité ou pas ;)

[max59]

Au fait Merci :)