Sous groupe

[benoist--77]

G est un sous groupe de (R,+).On se propose de caracteriser les morphisme croissant de (G,+) dans (R,+).Il est clair que pour tout reel µ, l application t->µt est un morphise de (G,+) dans (R,+),croissant si µ>=0 decroissant si µ<=0

1)dans cette question, G est un sous groupe discret de (R,+).Soit g un morphis croissant de (G,+) dans (R,+).montrer qu il existe un reel µ,tel que pour tout t de G,g(t)=µt ( les morphise croissant de G dans R sont donc les application t->µt ou µ>=0

2) dans cette question,G est un sous groupe dense de (R,+).Soit g un morphis croissant de (g,+) dans (R,+).pour tout reel x,on pose f(x)=sup{g(t),t appartenant a l intersection entre G et [-l infinie,x]}
Justifier l existence de l application f:R->R montrer qu elle est croissante et est un prolongement de l application g

3)enfin on se donne un reel strictement positif epsilon
montrer en utilisant la densite de G dans[0,a] avec a donner dans G interR+*, qu il existe x,y dans G tels que x
je n arrive pas du tout a avancer. Merci de bien vouloir m aider

[yos]

1) G=aZ. g(a) doit convenir.

2) Que faut-il pour qu'un sup existe? Le sup augmente avec l'ensemble sur lequel il porte. Que se passe-t-il si x est dans G?

[benoist--77]

OK merci je croi avoir compris les questions 1 et 2
mais la question 3 reste encore un mystere

[yos]

est infini, et son image par g est inclus dans [0,g(a)] (à cause de la croissance). La présence d'une infinité d'éléments g(x) dans ce dernier intervalle devrait te permettre de conclure. Ecarte le cas trivial où deux éléments x et y ont même image par g. Il reste le cas d'une infinité d'éléments tous distincts dans un intervalle borné.

[benoist--77]

ok ok merci j ai compris
encore une petite question
comment puis je montrer que f est un endomorphisme continue du groupe (R,+).