Différences entre Wiki anglais et fr. sur Filtres

[adexvectorquantic]

Bonjour,

Parmi les trois critères de la caractérisation d'un filtre F, il y en a un qui dit, dans sa version française (article Wikipédia français : https://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_(m ... A9matiques)#D%C3%A9finition), que pour tous A, B dans F il faut que la borne inférieure de A et de B soit dans F. Et dans sa version anglophone (article Wikipédia en anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Filter_(mathematics)#Definition) affirme que pour tous A, B appartenants à F, il doit exister un C appartenant à F qui minore à la fois A et B.

Ma première question est : quel est l'intérêt d'avoir une notion de filtre anglaise différente de la notion de filtre français? Pourquoi ne pas uniformiser la notion entre les deux langues?

Ensuite deuxième point de divergence entre la notion de filtre décrite dans le Wiki français et celle décrite dans le Wiki anglais : dans l'article anglais, on est sur un ensemble partiellement ordonné, ce qui correspond au cas le plus général; tandis que dans l'article français, on se place dans les parties d'un ensemble munies de l'inclusion. Et là où il y a un problème (à mon sens), c'est que le critère "l'ensemble vide n'appartient pas au filtre" n'a de sens que dans la formulation française (car dans un POSET il n'y a pas de plus petit élément a priori). Et d'ailleurs ce critère n'est demandé que dans la définition française.
Cela vient s'ajouter au fait que la formulation française est plus forte (plus restrictive).

Très bonne journée à vous,

Merci.

[adexvectorquantic]

EDIT : je pense avoir trouvé réponse à ma deuxième question concernant l'ensemble vide.
Quand on exclut l'ensemble vide du filtre dans la définition en français, c'est pour dire que le filtre est dit "propre" (c'est à dire qu'il n'est pas égal à P tout entier, P étant l'ensemble partiellement ordonné).

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Il n'y a de différence entre les deux notions de filtres (à part le fait que la page wiki en français ne considère que les filtres propres et qu'il n'y pas de raison valable de faire ça)
Soient et dans le filtre et supposons qu'ils aient un inf . L'axiome de la page wiki en anglais demande qu'il existe minorant commun de et dans le filtre. Mais alors puisque l'inf est le plus grand des minorants communs, et donc est dans le filtre ("upward closure").
On peut remarquer que la version française ne demande pas explicitement que le filtre soit non vide. Mais en fait c'est le cas, puisque l'axiome 2 entraîne que l'intersection de la famille vide d'éléments du filtre, qui est l'ensemble tout entier, appartient au filtre.

[adexvectorquantic]

Bonjour,

Merci pour cette réponse. Mais supposons que l'ensemble ordonné ne soit pas un treilli, alors il se pourrait que la borne inférieure de 2 éléments n'existe pas. Donc il se pourrait que pour deux éléments et , la condition anglaise (le filtre est dirigé vers le bas) soit satisfaite, sans que la borne inférieure de ces deux éléments n'appartienne au filtre (car elle n'existe pas).

L'implication : pour tous et dans le filtre, appartient au filtre, serait donc fausse car la prémisse est vraie mais la conclusion fausse.

Je suis d'accord pour dire que si l'ensemble (dont on cherche à montrer qu'il s'agit d'un filtre) est dirigé vers le bas, alors l'ensemble des minorants communs à et et appartenant à l'ensemble est non-vide. Mais comment montrer qu'il admet un plus grand élément?

[GaBuZoMeu]

Tu raisonnes d'une drôle de façon. La définition de la page wikipedia en français est donnée dans le cadre de l'algèbre de Boole des parties d'un ensemble. Elle est strictement équivalente à celle de la page wikipedia en anglais, et elle le reste dans tout ensemble ordonné avec borne inférieure. Quand il n'y a pas de borne inférieure, la définition de la page wikipedia en français ne fait plus sens, tout simplement. Et donc ça n'a pas de sens de dire que ça donnerait une autre notion de filtre !

[adexvectorquantic]

OK merci. La définition anglaise a donc du sens dans un cadre plus général, tandis que la française est adaptée à un cas particulier (semi-treillis inférieurs).

[GaBuZoMeu]

C'est cela.