Processus de Poisson

[Dbb]

Bonjour,

J'ai un exercice sur lequel je rencontre quelques difficultés :

Considérez un processus de Poisson homogène
\left\{N(t); t \geq 0 \right\} avec paramètre \lambda

Si S_i représente le temps où se produit le i-ème événement de ce
processus, T_i représente la durée entre deux évènements ( T_i = S_i _ S_(i-1) ) et 0<u<t évaluez E(S_2 | S_1 = u, N(t) = 2)

Pour cela, j'ai calculé :
P(S_1 = u , N(t) = 2) = P(T_2< t-u, S_3 > t) = P(T_2 < t-u) P(T_3> t_u) = ( 1- exp (-\lambda (t-u)) exp (-\lambda (t-u)
(par propriétés et independence des T_i)

donc :

E(S_2 | S_1 = u, N(t) = 2) = \int_{u}^{2}{k \frac{f_S2}{f(s1 = u, N = 2)}} = \int_{u}^{2}{k*\frac{\lambda exp(-\lambda *k)}{exp(-\lambda (t-u) (1- exp(-\lambda (t-u))}}

Je ne suis pas sûre du tout de la démarche, est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Je vous remercie !

[vam]

Merci de ne pas poster la même question sur plusieurs sites en parallèle