Trois questions mathématiques

[Guillermo]

Bonjour à tous,
J'ai trois questions mathématiques et comme elles sont "petites", je les liste ici directement :
1) Sachant que 1² + 2² + ... + n² = n²/3 + n²/2 + n/6 et que 1² + 2² + ... + (n-1)² = n²/3 - n²/2 + n/6, mon livre de maths me dit que, à partir de ceux deux égalités, on peut facilement en "déduire" que 1² + 2² + ... + (n-1)² < n³/3 < 1² + 2² + ... + n². J'ai déjà une preuve par induction sous la main mais je ne sais pas comment on "déduit facilement" une telle double inégalité grâce aux deux égalités susmentionnées.
2) Est-il vrai que "⊆" ne peut s'utiliser que pour mettre en relation deux ensembles ? Par exemple, si je dis 1 ⊆ A (A est un ensemble), c'est d'office faux, on est d'accord ?
3) Je comprends moyennement l'intérêt des axiomes... Par exemple, le théorème a + b = a + c donne b = c suivant une rigoureuse preuve mathématique, mais n'est-ce pas plus simple de simplement retirer "a" des deux membres de l'équation, comme si l'on retirait deux poids identiques des deux côtés d'une même balance ? Ceci n'est-il pas suffisant comme "preuve" mathématique ?
Merci à tous et bonne journée !

[Ben314]

(Re)Salut,
Le 1) c'est complètement immédiat :
Vu que n est (un entier) positif, n²/2 + n/6 est ≥0 donc n³/3+n²/2 + n/6 ≥ n³/3
Et pour l'autre, -n²/2+n/6 = n/6(1-3n) ≤ 0 donc n³/3-n²/2+n/6 ≤ n³/3

2) Oui, l'inclusion ⊂ (et pas ⊆ qui est le symbole anglo-saxon pour l'inclusion mais qui n'a pas de sens dans les maths Françaises) ne peut s'utiliser qu'entre deux ensembles donc 1 ⊂ A ne peut avoir de sens que si on regarde le symbole 1 comme désignant un ensemble (ce qui n'est pas du tout aberrant : la théorie la plus usitée à l'heure actuelle concernant les math s'appelle "théorie des ensembles" et dans cette théorie, tout les objets mathématiques, sans exceptions, sont des ensembles)

3) Les axiomes, c'est quelque chose d'indispensable si on veut faire des maths parfaitement rigoureuses.
Par exemple, pour "démontrer" que a+b=a+c implique b=c, tu propose de retirer a des deux cotés de l'équation. Mais comment démontrer tu qu'on peut retirer la même chose des deux cotés d'une équation ?
Et si tu me donne comme réponse "en faisant XXX", je pourrait évidement te demander "comment prouve tu XXX ?", etc etc.
Et la seule façon que cette suite de "pourquoi ?" s’arrête à un moment donné, c'est de finir par tomber sur un truc qui est vrai parce que... on a supposé que c'était vrai (donc pas besoin de preuve) : c'est ça un axiome et, sans ces axiomes, on ne pourrait absolument rien démontrer (Euclide est sans doute le premier à avoir compris que, sans aucune hypothèses, ben on a aucun résultat...)

[Guillermo]

Salut, déso pour ma réponse tardive, mais pour le 1), qu'est-ce qui nous permet de dire que n est un entier positif ? et qu'est-ce qui nous permet de dire que n/6(1-3n) est ≤ 0 ?

[Ben314]

Si ton bouquin est rédigé proprement, le fait que n désigne un entier strictement positif doit être écrit en noir sur blanc quelque part.
Sauf que la rigueur mathématique étant plus que beaucoup passée de mode, c'est effectivement pas certain que ton bouquin soit rédigé proprement.
Dans ce cas, ben ça veut dire qu'il faut soit même le "déduire" de l'expression 1² + 2² + ... + n² qui n'aurait pas le moindre sens si n était autre chose qu'un entier strictement positif (à la limite, on pourrait lui donner du sens pour n=0 en disant que ça vaut 0, mais c'est pas forcément clair, ni forcément utile : ça dépend des questions suivantes).

Et sinon, si n est un entier strictement positif, alors le réel n/6 est strictement positif et 1-3n est strictement négatif (et même inférieur ou égal à -2 vu que n est supérieur ou égal à 1).
Donc le produit des deux est strictement négatif.