Deux affirmations fausses?

[Guillermo]

Bonjour à tous,
Je dois prouver ces deux affirmations. Le problème, c'est que je pense qu'elles sont parfois fausses :
1) There is no real number a such that x ≤ a for all real x.
2) If x has the property that 0 ≤ x < h for every positive real number h, then x = 0.
Mes contre-exemples :
1) Si x = 2, alors on trouve un a = 3 qui donne 2 ≤ 3
2) Si x = 1 et h = 2, x n'est pas = à 0
Avez-vous des pistes à me donner si je me trompe ?
Merci beaucoup et bonne soirée!
Guillermo

[catamat]

Bonjour

D'abord un contrexemple sert à démontrer qu'une propriété universelle (c'est à dire valable pour tout élément d'un ensemble) est fausse.

Bon là ce n'est pas le cas, le 1) commence par il n'existe pas.... si on lit avec un peu d'attention cela dit qu'il n'existe pas de plus grand élément dans l'ensemble des réels, et ceci est vrai !

Pour en faire la démonstration il suffit de procéder par l'absurde c'est à dire :
supposons qu'il existe un réel a tels que pour tout réel x on ait x inférieur à a.
On peut facilement voir que "pour tout réel x on ait x inférieur à a" est faux ou absurde si tu préfères, en prenant le contrexemple x=a+1, ce x là n'est pas inférieur à a !

Pour le 2) qui est vrai je te laisse réfléchir et utiliser le fait que R est dense.

[Guillermo]

Merci pour ta réponse ! J'ai compris le premier exercice mais toujours pas le second... Qu'est-ce que veut dire "R est dense" ? Et en quoi cela peut-il m'aider ?
Merci encore !

[Ben314]

Salut,
Pour le 2), il n'est pas utile de connaitre la notion de densité.
Par contre, ben il faut comprendre ce que dit la phrase . . .
Si un réel x est tel que, pour tout h>0, on ait 0 ≤ x < h, alors ce réel x est forcément nul.

Toi, tu propose comme "contre exemple" x=1.
- Ce réel x est est effectivement non nul donc, la conclusion de l'implication "si ... alors ... " est fausse.
- Mais l'hypothèse de cette même implication est-elle-elle vérifiée, c'est à dire a-t-on "pour tout réel h>0, on a 0 ≤ 1 < h" ?
Toi tu fait comme si la réponse était "oui" alors que tu n'as vérifié qu'avec un seul réel h=2.
C'est évidement insuffisant pour montrer que "pour tout h>0 . . ." est vrai.
Et si on regarde la phrase "pour tout réel h>0, on a 0 ≤ 1 < h", ben ça me semble clair que c'est faux : le réel h=0.5 et bien >0, mais il n'est pas entre 0 et x=1. (par contre, ça serait vrai avec des entiers : un entier strictement positif est forcément supérieur ou égal à 1)
Bref, le cas x=1 donne un exemple où, l'hypothèse, et la conclusion de l'implication sont toute les deux fausse et ça prouve rien concernant l'implication en question.
(Si on te dit "tout les chats sont gris", c'est pas avec un chien qui n'est pas gris que tu va pouvoir savoir si la phrase est vrai ou pas . . .)

[Ben314]

Sinon, à mon avis, le plus simple pour prouver que cette phrase est vrai, ben c'est de démontrer . . . qu'elle ne peut pas être fausse : un raisonnement "par l'absurde" (*)
Donc, supposons qu'on ait un contre exemple à cette phrase qui dit "pour tout x . . . ", ça signifierais qu'on a un x qui vérifie bien l'hypothèse :
pour tout h>0, on a 0 ≤ x < h
mais qui ne vérifie pas la conclusion :
ce réel x est nul
Donc qu'en fait x est strictement positif.
Tu ne vois pas pourquoi c'est pas possible ?

[Guillermo]

Merci encore pour ta réponse ! J'imagine que ce théorème se traduit par le fait qu'il n'existe pas de nombre réel positif le plus petit (càd inférieur à tous les autres nombres réels positifs), non ? Voici ma preuve du coup :
1) Il faut prouver que si x est tel que 0 ≤ x < h pour tout h > 0, x = 0.
2) Autrement dit, par l'absurde, admettons que si x est tel que 0 ≤ x < h pour tout h > 0, il existe un x tel que x ≠ 0.
3) Autrement dit, comme 0 ≤ x et que x ≠ 0, nécessairement x > 0.
4) Comme x > 0 et comme -(1/2) < 0, on a -x/2 < 0.
5) En ajoutant x de part et d'autre de l'inéquation, on a x/2 < x, ce qui veut dire qu'il existe un h = x/2 qui soit inférieur à x. Autrement dit, ce contre-exemple montre qu'il n'existe pas de nombre réel positif x le plus petit.
Ma preuve me semble correcte mais un peu tirée par les cheveux, tu ne trouves pas ?

[Ben314]

Sur le principe, ça me semble O.K., mais pas très bien dit . . .
J'aurais écrit ça :
1) Il faut prouver que si x est tel que 0 ≤ x < h pour tout h > 0, x = 0.
2) Autrement dit, par l'absurde : supposons, que l'on ait un x tel que 0 ≤ x < h pour tout h > 0, mais tel que x ≠ 0.
3) Autrement dit, comme 0 ≤ x et que x ≠ 0, nécessairement x > 0.
4) Comme x > 0 et que 0<1/2<1, on a 0<x/2<x ce qui signifie que le réel h=x/2 est >0 mais ne vérifie pas x < h : contradiction avec l'hypothèse

[abicah]

Une démonstration par contraposé est également possible pour le 2)