Convergence série de fonction

[mikogh19]

Bonjour,
Je voudrais savoir si quelqu'un pouvais me guider: Je dois montrer la convergence de la somme partielle allant de 1 à n de la fonction k * exp(- k^2), et pour cela j'ai pensé à utiliser le critère de d'Alembert.
Puis il faut donner la vitesse de convergence.
J'ai pensé a trouver une majoration de la limite de la série en question (c'est à dire celle pour k allant de 1 a l'infini) moins la série de base, mais je ne parviens pas à trouver la vitesse de convergence.
Faut-il passer par une comparaison série intégrale ?
Merci à tous pour l'intérêt que vous porterez à cet exercice et bonne journée !

[mikogh19]

Pour la comparaison série intégrale, je devrais alors passer par une intégration par partie et c'est pas évident de trouver la primitive de exp(-x^2)...

[tournesol]

Bonsoir
D'Alembert donne immédiatement la convergence .
Quant à sa vitesse , je dois réviser .

[tournesol]

La comparaison série intégrale donne
La majoration de montre une limite infinie pour q>1 .
Donc la vitesse de convergence est au plus linéaire .
La calculatrice montre une limite nulle pour q=1
Donc elle est entre le linéaire et la puissance
Si quelqu'un peut t'aider pour la déterminer plus précisement ?

[tournesol]

Or la comparaison série intégrale donne
Donc et donc est équivalent à son premier terme.
On peut en déduire que la vitesse de convergence est intermédiaire entre la puissance et le linéaire

[tournesol]

est équivalent à
On compense ce terme en posant et en résolvant par ln en négligeant ln n , on obtient
une vitesse de convergence en
On a négligé par heuristique (comme font les physiciens) puis on démontre que Rn/ce qu'on a trouvé
a bien une limite strictement positive en +l'infini