Methode de Newton:

[mikogh19]

Bonjour, La méthode de Newton est encore toute fraiche à manipuler pour moi.
C'est pourquoi je voulais vous demander si il était possible pour vous de me guider dans ce problème:
Appliquez la méthode de Newton à la résolution de l'équation exp(-x) = x
Merci infiniment !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Les graphes vite faits de et de montrent qu'ils se croisent entre 0 et 1. Je te suggère d'enclencher la méthode de Newton pour résoudre en partant de .
Tu as le mode d'emploi, suis-le scrupuleusement.

[mathelot]

Bonsoir,
poser f(x)=exp(-x)-x, (l'équation est f(x)=0) calculer sa dérivée f', écrire la formule de récurrence de la suite, minorer |f'(x)| pour démontrer la convergence.

[phyelec]

Bonjour,
Avez-vous un intervalle I ou est-ce sur
La méthode de Newton revient "à grosse maille" à calculer la tangente en x0,x1,....xn
vous cherchez donc la solution de f(x)=0 avec f(x)=exp(-x)-x
Il faut s'assurer de l'existence d'une solution et de son unicité sur I (ou ) .
Il faut vérifier sur I (ou ) que l'on peut appliquer la méthode de Newton,en effet f doit être de classe et f' et f" doivent garder un signe constant , enfin il faut s'assurer que f(x) change signe (donc passe par 0) sur I (ou R)
f′ garde un signe constant assure que f est strictement monotone sur I (ou ) et assure l'unicité de la solution
le signe de f" vous dit si f est convexe (f">0) ou concave (f"<0).

Une fois tout cela établie, il faut choisir un point de départ pour l'algorithme, plus votre point est éloigné plus il faudra itérer.
calculer f' et f"
La tangente en a pour équation : .
Elle coupe donc l’axe (y = 0) en

Donc :


.........
récapitulatif :
1. Vérifiez que les hypothèses de la méthode de Newton sont satisfaites sur intervalle.
2. choisir x0 . Calculer l’équation de la tangente au point M0 du graphe de f, d’abscisse x0. Puis calculer l’intersection x1 de cette tangente avec l’axe des x.
3. Itérez une seconde fois à partir du point M1 d’abscisse x1, pour obtenir l’approximation x2 de la solution.

[mikogh19]

J'ai parfaitement compris, merci à vous tous pour vos astuces ! En initialisant a xo = 1/2, je trouve une convergence proche de 1/2.

[GaBuZoMeu]

Pas si proche que ça ...

[mathelot]

Vitesse de convergence


On pose la racine de f. On a donc

La suite définie par récurrence converge vers :
pour n

On pose et g:




La série de Taylor de f à l'ordre 2 donne:

où
d'où





d'où, en posant


où:


par récurrence sur l'entier n, il vient:


une vitesse de convergence quadratique (rapide)

à près.

[mathelot]

Code: Tout sélectionner

from math import *
N=input("nombre d'itérations?") # quatre itérations
N=int(N)
n=0
n=int(n)
x=0.5
x=float(x)
while n<N:
    x=(x+1)/(exp(x)+1)
    n +=1.
print(x)  #0,567 143 290 409 783 8


[phyelec]

même résultat en 4 itérations en partant de plus loin avec Scilab :

Code: Tout sélectionner

function y=f(x)
 y=exp(-x)-x;
endfunction

function y=df(x)
 y=-exp(-x)-1;
endfunction

function [x,n]=newton(f,df,x0,eps)
 x = x0
 while (abs(f(x))>eps)
 x = x - f(x)/df(x), n=n+1
 end
endfunction

x0=-1
eps=0.00001
n=0
[x,n]=newton(f,df,x0,eps)


Code: Tout sélectionner

 x  =
   0.5671432
 n  =
   4.

[mathelot]

pour avoir une précision de pour , il suffit que

avec

soit

soit