PGCD et module

[Lilou92110]

bonjour en math expertes j'ai un DM facultatif a rendre. Cependant je but sur un exercice malgres les aides de ma prof. Pourriez vous m'aider?
Voici la consigne:
Soit n un entier naturel avec n>3. On pose a=3n+11 et b=n+2
1/ écrire la division euclidienne de a par b
là pas de problème j'ai répondu 3n+11=(n+2)x3+5

2/ En déduire que le PGCD (a;b) divise 5
j'ai répondu: j'en déduis donc PGCD (3n+11;n+2)=PGCD(n+2;5) mais je ne sais pas quoi rajouter pour le démontrer je n'ai fait que le début m'a dit ma prof

3/ Montrer que: PGCD(a;b)=5 si et seulement si n modulo 3 [5]
Alors là je n'ai aucune idée de ce que je doit faire étant donné que j'ai raté le chapitre sur les modulo
Voici les aides qu'elle ma donné pour répondre a cette question:
"Pour la question 3 c'est une équivalence, donc il faut raisonner en deux étapes.
1er etape/ Partez du fait que pgcd=5 pour prouver que n est congru à 3 modulo 5.
​2eme étape/ Partez du fait que n est congru à 3 modulo 5 pour en déduire que pgcd=5.
Vous pouvez utiliser l'égalité que vous avez trouvée dans la 2ème question et donc (n+2) doit être divisible par 5."
​ Pourriez vous m'aider!!?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour la question 2 : tu sais donc que PGCD(a,b) est le plus grand DIVISEUR COMMUN de n+2 et 5. Fais bien attention à ce que j'ai écrit en capitales.

Pour la question 3. Déjà, tu as déformé l'énoncé :la condition nécessaire et suffisante est "n est congru à 3 modulo 5", ce qui veut dire que 5 divise n-3.
Combien ça fait (n+2)-5, au fait ?

[Lilou92110]

Bonjour,

Pour la question 2 : tu sais donc que PGCD(a,b) est le plus grand DIVISEUR COMMUN de n+2 et 5. Fais bien attention à ce que j'ai écrit en capitales.

Pour la question 3. Déjà, tu as déformé l'énoncé :la condition nécessaire et suffisante est "n est congru à 3 modulo 5", ce qui veut dire que 5 divise n-3.
Combien ça fait (n+2)-5, au fait ?

D'accord merci
Donc pour la question 1 je n'ai juste a dire que le plus grand diviseur commun de n+2 et 5 est: 5 puisque 5 est un nombre premier.
Et Cela fait -10-5n

[JeanCharles]

Bonjour,

Et Cela fait -10-5n

Ce n'est pas une multiplicaion

[Lilou92110]

Bonjour,

Et Cela fait -10-5n

Ce n'est pas une multiplicaion

Bon je vous avoue que je suis un peu perdu je ne comprend pas ce qu'il veut me faire comprendre

[GaBuZoMeu]

Hum, cela ne va pas.

La question 2, c'est de démontrer que le pgcd de a et b divise 5. Tu sais déjà qua le pgcd de a et b est le plus grand DIVISEUR commun de n+2 et de 5 .... Ne vois-tu pas ?

Ensuite, je te demande que vaut (n+2) - 5 (n+2 moins 5), et tu réponds -10-5n !!!!

[Lilou92110]

Hum, cela ne va pas.

La question 2, c'est de démontrer que le pgcd de a et b divise 5. Tu sais déjà qua le pgcd de a et b est le plus grand DIVISEUR commun de n+2 et de 5 .... Ne vois-tu pas ?

Ensuite, je te demande que vaut (n+2) - 5 (n+2 moins 5), et tu réponds -10-5n !!!!

lol autant pour moi cela fait n-3. Et non je ne voit pas quel est le diviseur commun de n+2 et 5 Serait-ce 1?

[Lilou92110]

Hum, cela ne va pas.

La question 2, c'est de démontrer que le pgcd de a et b divise 5. Tu sais déjà qua le pgcd de a et b est le plus grand DIVISEUR commun de n+2 et de 5 .... Ne vois-tu pas ?

Ensuite, je te demande que vaut (n+2) - 5 (n+2 moins 5), et tu réponds -10-5n !!!!

lol autant pour moi cela fait n-3. Et non je ne voit pas quel est le diviseur commun de n+2 et 5 Serait-ce 1?

Ah mais du coup là n'aurai-je prouvé que n est congru à 3 modulo 5?

[Lilou92110]

Hum, cela ne va pas.

La question 2, c'est de démontrer que le pgcd de a et b divise 5. Tu sais déjà qua le pgcd de a et b est le plus grand DIVISEUR commun de n+2 et de 5 .... Ne vois-tu pas ?

Ensuite, je te demande que vaut (n+2) - 5 (n+2 moins 5), et tu réponds -10-5n !!!!

lol autant pour moi cela fait n-3. Et non je ne voit pas quel est le diviseur commun de n+2 et 5 Serait-ce 1?

Ah mais du coup là n'aurai-je prouvé que n est congru à 3 modulo 5?

c'est pour demain pourriez vous me donner la réponse? Je sent que je suis proche mais la solution m'aiderais a comprendre! cela me frustre Merci beaucoup pour votre aide si précieuse

[Vassillia]

Bonjour, pour la question 2, on ne te demande pas de trouver la valeur numérique du pgcd(a,b) par contre tu as montré que pgcd(a,b) = pgcd(n+2,5) or comme a lourdement insisté GaBuZoMeu, un pgcd DIVISE donc pgcd(a,b) divise n+2 et divise 5.

Pour la question 3, tu as peut-être compris l’idée mais il faut structurer un peu ta démonstration.
Si pgcd(a,b)=5 alors d’après la question précédente 5 divise n+2 donc 5 divise (n+2)-5 et je te laisse finir. Tu peux faire le même type de raisonnement dans le sens inverse comme demandé par ton professeur.