Nombre D’or, devoir maion

[Toto66]

Bonjour, je suis actuellement « bloqué » sur mon exercice de devoir maison... On m’a demandé de chercher le nombre d’or « phi » d’un rectangle (la longueur) à partir d’une équation xcarré-x-1=0 si ça peut servir; le résultat obtenu est (1+racine de 5)/2.
On m’a demandé de montrer que « phi »carré=« phi »+1. Je l’ai donc montré par des calculs.
Désormais, on me demande de déterminer deux entiers a et b tel que « phi »au cube=a* « phi »+b. J’aurai pu dire que a et b était égaux à « phi », mais on me demande des nombres entiers... J’ai trouvé que ça marchait pour a=2 et b=1... Mais je n’arrive pas du tout à le démontrer! Pouvez vous m’aider svp...
Ensuite je dois montrer que 1/«phi »=« phi »-1; comment puis-je démontrer cette vérité par des calculs?
Pour finir, ma dernière question est celle du dernier exercice, je dois déterminer deux entiers a et b à nouveau, mais pour que 1/« phi »carré=a* « phi »+b...
Un grand merci pour votre aide

[vam]

Bonjour
tu sais que

donc \times (\phi + 1)=\dots[/tex]

vois-tu ?

[vam]

oups...

Bonjour
tu sais que

donc

vois-tu ?

[hdci]

jour,

Pour le cube : puisque , il faut calculer c'est-à-dire



Deux choses : (1) quand une fraction est élevée à une certaine puissance, que peut-on dire du numérateur et du dénominateur et (2) comment faire pour calculer de façon générale ?

Pour l'inverse : deux méthodes.

La première : pour démontrer que, il suffit de montrer que
On utilise cette méthode quand on connaît a et b.

La seconde : de façon générale, la "forme conjuguée" de , c'est car quand on multiplie cela fait
C'est très pratique dans une fraction quand il y a des racines carrées : car on peut multiplier numérateur ET dénominateur par la quantité conjuguée sans changer le nombre.
Exemple avec



vous pouvez vous entraîner avec la même technique sur le nombre d'or.

[vam]

certes mais le grand intérêt du nombre d'or c'est qu'il est solution de l'équation x²-x-1=0
soit

et delà aucun calcul n'est nécessaire...

[mathelot]

bonsoir,



vérifie

question 2, calcul de 1/phi

on a (*)

divise les deux membres de l'égalité (*) par

question 2, calcul de 1/phi^2

on a (*)

divise les deux membres de l'égalité (*) par

[Toto66]

Bonjour,
Je vous remercie énormément pour tous vos retours... C’est la première fois que je rencontre le « nombre d’or », c’est pour cela que j’étais un peu perdu....
Pour la première question, c’est bien ce que j’avais réalisé... j’avais trouvé, mais je n’obtiens toujours pas d’entiers pour a et b?

[vam]

mais si...

donc

[Toto66]

Bonjour,
Merci beaucoup, j’avais pas compris dans ce sens là!
Bonne journée

[vam]

et donc tu remarqueras que même ton premier calcul était inutile
le simple fait que soit solution de ton équation permettait de répondre

[Toto66]

Pour la dernière question, je dois déterminer les entiers a et b afin que 1/« phi »carré= a* « phi »+b...
Je sais que 1/phi=phi-1... il me suffit de multiplier par 1/phi des deux côtés de l’égalité?

[Toto66]

J’ai fini par trouver! Merci

[Toto66]

Je reviens vers vous... J’ai une suite définie par F0=1, F1=1 et Fn+2=Fn+1 + Fn.
J’ai calculé les termes jusqu’à F11... Ensuite, pour chaque « n » jusqu’à F10, j’ai calculé (Fn+1)/(Fn).
Arrondi à 10^-3, j’ai obtenu:
F0=1, F1=2, F2=1.5, F3=1.667, F4=1.6, F5=1.625, F6=1.615, F7=1.619, F8=1.618, F9=1.618 et F10=1.618...
Je dois émettre une conjecture pour cette suite de terme général (Fn+1)/(Fn), la seule que j’aurai trouvé aurait été , le résultat est le meme pour tout n supérieur ou égal à 8. Est ce une bonne conjecture ou y en a-t-il une meilleure?
En vous remerciant