Probabilités de QCM

[idkhugo]

Bonjour à tous, j’ai eu un débat avec un ami avant un examen de statistiques sous forme de QCM.

Hypothèse de départ : On est 80 élèves dans la promotion, on a chacun 10 questions, le prof, préalablement, a préparé 80 questions différentes qu’il distribuera aux 80 élèves.

Selon moi, il y’aura en moyenne 1 question différente sur 10 pour chaque élève ( Calcul : 80/80).

Selon vous, quelle est le nombre de questions différentes ou similaires (en moyenne) qu’auront les élèves de la promotion ?

En attente de vos réponses !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Ta question n'est pas très claire. Faut-il la comprendre de la manière suivante :
On tire au hasard 10 questions parmi les 80 (tous les ensembles de 10 questions sont équiprobables).
Si on fait deux tirages indépendants A et B (tirages avec remise, bien sûr), quelle est l'espérance du nombre de questions communes à A et B ?

[idkhugo]

Bonjour,

Ta question n'est pas très claire. Faut-il la comprendre de la manière suivante :
On tire au hasard 10 questions parmi les 80 (tous les ensembles de 10 questions sont équiprobables).
Si on fait deux tirages indépendants A et B (tirages avec remise, bien sûr), quelle est l'espérance du nombre de questions communes à A et B ?

Non pas vraiment, car dans ce cas il y’a peu de chances d’avoir des questions similaires entre A et B.
En fait j’aimerais savoir, si l’on prend l’ensemble de la promotion (les 80 élèves), combien auront-ils, en moyenne, de questions différentes. En d’autres termes on prend la promotion comme un tout et on analyse pas uniquement deux individus. Merci de votre réponse, peut être ne suis pas encore très clair ?

[GaBuZoMeu]

[Non pas vraiment, car dans ce cas il y’a peu de chances d’avoir des questions similaires entre A et B.

Il y a 76% de chances que A et B aient au moins une question commune, et l'espérance du nombre de questions communes est 5/4.

Si quelqu'un comprend ce que idkhugo veut dire par "combien auront-ils, en moyenne, de questions différentes" ....

[lyceen95]

Je pense que la question posée n'est pas celle-ci.
Idkhugo insiste sur le mot 'question différente', et je pense qu'il veut dire 'question spécifique'.

Imaginons ce contexte : le 1er élève passe l'examen, il sort de la salle, et il partage avec ses camarades la liste des question. etc etc etc
Le dernier élève est avantagé, il a pu chercher les réponses à toutes les questions. Mais qui sait, peut-être qu'il va avoir une question qui n'est jamais sortie ?

Donc reformulons.
J'ai mes 80 élèves, on a posé 10 questions à chacun des 80 élèves. Toutes les questions sont extraites d'un catalogue qui fait lui même 80 questions.
On dit qu'un élève a eu une question 'spécifique' si lui seul a tiré cette question.
En moyenne, combien chaque élève a de questions 'spécifiques' ?

Idkhugo :
Dans ton premier message, tu as fait un calcul ... 80/80, ça donne 1. 1 question spécifique par élève.
Si au lieu de 80 élèves, il y en a 40, tu fais le même calcul ?
Et s'il y a 6 élèves , tu fais le même calcul ? Et donc tu trouves que chaque élève a 13,3 questions spécifiques, alors qu'il n'a que 10 questions en tout.

Ta formule est donc fausse.

[GaBuZoMeu]

Lycéen95, tu interprètes la question comme :
Quelle est l'espérance, pour un élève donné, du nombre de questions parmi ses 10 qui n'ont été posées à aucun des 79 autres ?
C'est bien ça ? Auquel cas cette espérance est ridicule ( à peu près 26/10^5).

[lyceen95]

Je ne sais pas si c'est bien ça la question. J'essaie de deviner la 'vraie' question. Et j'essaie surtout de donner une aide à Idkhugo pour qu'il formule lui-même clairement sa question. Peut-être qu'écrire clairement une question demande beaucoup d'efforts ?

Idkhugo ....
Tu demandes un certain nombre. Si au lieu de 80 élèves, il y en avait 100, ou 200, tu penses que le résultat que tu cherches va changer ? Le nouveau nombre sera plus grand, plus petit, ou inchangé ?

[idkhugo]

Je pense que la question posée n'est pas celle-ci.
Idkhugo insiste sur le mot 'question différente', et je pense qu'il veut dire 'question spécifique'.

Imaginons ce contexte : le 1er élève passe l'examen, il sort de la salle, et il partage avec ses camarades la liste des question. etc etc etc
Le dernier élève est avantagé, il a pu chercher les réponses à toutes les questions. Mais qui sait, peut-être qu'il va avoir une question qui n'est jamais sortie ?

Donc reformulons.
J'ai mes 80 élèves, on a posé 10 questions à chacun des 80 élèves. Toutes les questions sont extraites d'un catalogue qui fait lui même 80 questions.
On dit qu'un élève a eu une question 'spécifique' si lui seul a tiré cette question.
En moyenne, combien chaque élève a de questions 'spécifiques' ?

Idkhugo :
Dans ton premier message, tu as fait un calcul ... 80/80, ça donne 1. 1 question spécifique par élève.
Si au lieu de 80 élèves, il y en a 40, tu fais le même calcul ?
Et s'il y a 6 élèves , tu fais le même calcul ? Et donc tu trouves que chaque élève a 13,3 questions spécifiques, alors qu'il n'a que 10 questions en tout.

Ta formule est donc fausse.

Merci pour cette réponse détaillée. Premièrement, c’est effectivement ce que j’avais en tête quand je parlais de « question différente », tu as su précisé l’énoncé, chose que je n’ai apparement pas su faire.
Mon calcul est donc faux comme tu l’as montré, y’a-t-il une formule adéquate pour l’énoncé en l’espèce ?

Merci du retour.

[idkhugo]

Je ne sais pas si c'est bien ça la question. J'essaie de deviner la 'vraie' question. Et j'essaie surtout de donner une aide à Idkhugo pour qu'il formule lui-même clairement sa question. Peut-être qu'écrire clairement une question demande beaucoup d'efforts ?

Idkhugo ....
Tu demandes un certain nombre. Si au lieu de 80 élèves, il y en avait 100, ou 200, tu penses que le résultat que tu cherches va changer ? Le nouveau nombre sera plus grand, plus petit, ou inchangé ?

Selon moi, si le nombre d’élèves augmente alors que le nombre de questions dans la catalogue n’augmente pas, le résultat que je cherche va diminuer. Ils seront plus à même à avoir des questions communes, mais moins de « différentes ».

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu confirmes cette version de ta question :

Quelle est l'espérance, pour un élève donné, du nombre de questions parmi ses 10 qui n'ont été posées à aucun des 79 autres ?

Si c'est bien la question, la réponse se trouve facilement en commençant comme ça :
1°) Quelle est la probabilité pour un élève donné de recevoir la question n°1, sachant qu'il en reçoit 10 tirées au hasard parmi les 80 questions ?
2°) Quelle est la probabilité pour un élève donné de recevoir la question 1 et qu'aucun de ses 79 condisciples ne la reçoive ?
3°) Quelle est l'espérance, pour un élève donné, du nombre de questions parmi ses 10 qui n'ont été posées à aucun des 79 autres ?