Préparation QCM iufm, arithmétique

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
jellybelly
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Préparation QCM iufm, arithmétique

par jellybelly » 11 Mar 2008, 16:18

Bonjour,

Je prépare actuellement le concours d'admissibilité en première année de l'iufm, et bien entendu les mathématiques sont au programme.
Je bloque sur certains exercices d'un qcm, dont j'ai les réponses mais qui ne sont pas détaillées, du coup, je ne comprends pas la méthode de résolution de ces problèmes:

La somme de deux nombres est 517, de combien augmentera leur produit si on augmente chaque nombre de 5 unités? Je sais que la réponse est 2610, mais je ne comprends pas comment je dois procéder.

On calcule des expressions du type suivant 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+....; dans lesquelles on alterne les signes + et - de deux termes en deux termes comme indiqué ci dessus. Jusqu'à quel nombre faut-il aller pour obtenir 2007 en calculant l'expression?

Et enfin:Quel est le nombre de chiffres de l'écriture usuelle du nombre 7puissance4 x 11puissance4 x 13puissance4 ?

Merci d'avance pour vos explications, j'avoue que j'ai beau tourner les problèmes dans tous les sens et griffoner sur des pages entière j'ai un peu de mal!

julie



alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 11 Mar 2008, 16:25

bonjour

1) on nomme a et b ces nombres
on note P le produit
a+b = 517
P = ab

calcule le nouveau produit P ' en fonction de P et a+b

jellybelly
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Tentative n°1

par jellybelly » 11 Mar 2008, 16:41

Merci pour la réponse:

Alors je procède de cette façon:

a+b=517 donc b=517-a

P=ab

P'= (a+5)x(b+5)
P'= (a+5)x(517-a+5)
P'=(a+5)x(522-a)
P'= 522a-a²+2610-5a
P'= 517a-a²+2610
P'= a(517-a)+2610
P'= axb+2610

Youhou!!! ça y est j'ai compris, c'est bien ça?

Merci beaucoup!
Si quelqu'un peut maider pour les autres questions!!

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 11 Mar 2008, 17:13

pour le 2

les nombres vont de 4 en 4

1 = 4x0 +1
2= 4x0 +2
3 = 4x0 +3
4 = 4x0 +4

c 'est le paquet n° 0

la somme sur un paquet fait - 4

après le paquet n° (N-1)

on aura eu N paquets de 0 à N-1

donc la somme fera -4xN

les deux termes suivants du paquet n°N seront

4N+1
4N+2

il faut donc -4N +4N+1+4N+2 = 2007

et la valeur de N

jellybelly
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probleme de compréhension

par jellybelly » 11 Mar 2008, 17:46

Euh... je ne comprends pas grand chose...

Ce que je pense comprendre:
[1+2-3-4] constitue un paquet qui vaut -4
[+5+6-7-8] constituerait un autre paquet qui vaut également -4
[+9+10-11-12] vaut également -4

Je comprends que l'on compte de 4 en 4 mais pourquoi dites vous qu'il s'agit du paquet 0, pourquoi ce n'est pas le paquet n°1?

après le paquet n° (N-1)
on aura eu N paquets de 0 à N-1
Donc la somme fera -4xN
Je ne comprends pas pourquoi N-1?

Les deux termes suivants du paquet n°N seront
4N+1
4N+2
il faut donc -4N +4N+1+4N+2 = 2007
et la valeur de N

Dans ce passage je comprends un peu la logique du N+1 et N+2 mais je nage quand même dans le flou

Pourriez vous simplifier ou détailler votre démarche?

Merci d'avance!

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 12 Mar 2008, 01:15

si je compte mes dix doigts

je peux le faire de 1 à 10 ou de 0 à 9 le dixième doigt aura le numéro 9 dans ce cas

j'ai appelé le 1 er paquet n° 0 car N valait 0 :

1 = 0x4 +1
2 = 0x4 +1

le N ième paquet aura d0nc le numéro N-1

mais si tu préfères appelle le premier paquet numéro 1

le N iéme paquet sera donc pour les nombres :
4(N-1) +1 ;....:

abcd22
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par abcd22 » 12 Mar 2008, 03:14

Bonsoir,
jellybelly a écrit:P'= (a+5)x(b+5)
P'= (a+5)x(517-a+5)
P'=(a+5)x(522-a)
P'= 522a-a²+2610-5a
P'= 517a-a²+2610
P'= a(517-a)+2610
P'= axb+2610

Youhou!!! ça y est j'ai compris, c'est bien ça?

C'est bon mais il y a des calculs inutiles (tu commences par faire disparaître b pour le refaire apparaître à la fin), c'est plus rapide de tout développer directement :
P' = (a + 5) × (b + 5)
P' = ab + 5a + 5b + 25
P' = ab + 5 (a + b) + 25
P' = ab + 5 × 517 + 25
P' = ab + 2610

anima
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par anima » 12 Mar 2008, 03:26

jellybelly a écrit:On calcule des expressions du type suivant 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+....; dans lesquelles on alterne les signes + et - de deux termes en deux termes comme indiqué ci dessus. Jusqu'à quel nombre faut-il aller pour obtenir 2007 en calculant l'expression?

Celle-ci peut etre faite de facon simple (avec des sommes partielles et un peu de jugeotte) ou de facon compliquée..
La facon simple:
Somme des termes 1 a 3 = 0
Somme des termes 1 a 4 = -4
Somme des termes 1 a 5 = 1
Somme des termes 1 a 6 = 7
Somme des termes 1 a 7 = 0
Somme des termes 1 a 8 = -8
Somme des termes 1 a 9 = 1
Somme des termes 1 a 10 = 11
J'espere que tu vois ce qu'il se passe. Tous les 4 termes, on obtient un nombre négatif égal a n (n=0, n=4, n=8...). Tous les 4 termes, on obtient aussi un nombre égal a n+1 (n=6, n=10, ...). Tous les 4 termes, aussi, on obtient 1. Mais ca ne sert a rien. Et enfin, le dernier terme est zéro.
Donc, la seule facon d'avoir 2007 est si n=2006 et si n est égal a 2 modulo 4. Or, 2006 = 2004+2 et 2004 est divisible par 4. Donc, si n=2006, on a une somme égale a 2007.
C'est-y-pas-beau? :)

La méthode un peu plus rigoureuse: on peut surement écrire la suite sous une forme tres claire de la forme U_n = f(n). Des lors, il suffit d'additionner.
Cependant, je n'ai pas le temps de le faire; je le ferai demain, si tu veux.

abcd22
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par abcd22 » 12 Mar 2008, 03:37

jellybelly a écrit:Et enfin:Quel est le nombre de chiffres de l'écriture usuelle du nombre 7puissance4 x 11puissance4 x 13puissance4 ?


On a 7;) × 11;) × 13;) = (7 × 11 × 13);), calcule 7 × 11 × 13 et le problème devrait déjà devenir plus simple.

jellybelly
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par jellybelly » 12 Mar 2008, 16:14

anima a écrit:Donc, la seule facon d'avoir 2007 est si n=2006 et si n est égal a 2 modulo 4. Or, 2006 = 2004+2 et 2004 est divisible par 4. Donc, si n=2006, on a une somme égale a 2007.
C'est-y-pas-beau? :)


Pff j'en ai marre de ne pas comprendre, tu as l'air de trouver ça si simple...
Je ne connaissait pas ce que voulait dire "2 modulo 4" donc j'ai cherché et j'ai trouvé: 2 mod 4 = 2 (il va 0 fois 4 dans 2 et il reste 2). Mais ça m'embrouille encore plus. Est-ce que ça veut dire que comme on a 0 tous les 4 termes, il faut conserver le 2 et s'en servir pour trouver la solution?

Je pensais que pour ce type d'exercice il fallait utiliser une formule qui permet de faire la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique du type:
Un= a x r (n-1), mais en même temps peut être que cette formule s'applique qu'aux suites qui augmentent ou diminuent de façon constante... :look_up:. je ne sais pas...

Pour l'épreuve de maths on nous demande de résoudre certains problèmes dont il me semble que la procédure de résolution est semblable à celle que tu tente de m'expliquer. Je vais écrire brièvement les énoncés, je voudrais que tu me dise s'il faut procéder de la même manière:

Un escargot est au bas d'un mur de 10,40 mètres. Il grimpe verticalement le long du mur. Chaque heure, il monte de 80cm, mais fatigué se laisse descendre de 20 cm la demi-heure suivante,quel temps lui faut-il pour ateindre le haut du mur?

A l’école, il y a deux horloges. L’une avance de 8 minutes toutes les 3 heures, l’autre retarde
de 5 minutes toutes les deux heures.
Le directeur les a mises à l’heure hier. Maintenant, l’une marque 17 h. 20. et l’autre 14 h. 45.
Quelle heure est-il ?


Merci d'avance pour ta patience!

jellybelly
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par jellybelly » 12 Mar 2008, 16:34

abcd22 a écrit:On a 7;) × 11;) × 13;) = (7 × 11 × 13);), calcule 7 × 11 × 13 et le problème devrait déjà devenir plus simple.


Alors, si je fait 7x11x13, j'obtiens 1001
donc il me faut calculer (1001);)

Est-ce que je peux procéder de cette façon:

(1001);)
=(1x10puissance3 +1);)
= 1x10puissance 12 + 1

Le nombre s'écrit avec 13 chiffres, on prends le nombre de l'exposant+le premier chiffre de l'expression.
C'est juste?

Lorsque je calcule avec une calculatrice je n'obtient pas 1000000000001,
mais 1004006004000, pourquoi? Ou-ai-je fait une erreur?

Merci d'avance!!

julie

abcd22
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par abcd22 » 12 Mar 2008, 20:20

Attention, on a (a × b)^m = a^m × b^m, mais en général (a + b)^m ;) a^m + b^m, par exemple (1 + 1)² = 2² = 4 mais 1² + 1² = 2.
Pour calculer 1001;) on peut utiliser la formule du binôme de Newton, mais je ne sais pas si c'est au programme du concours ou pas : on écrit 1001;) = (1000 + 1);) = 1000;) + 4 × 1000³ + 6 × 1000² + 4 × 1000 + 1.

regis183
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par regis183 » 13 Mar 2008, 09:41

Sinon tu peux aussi dire que :
1000<1001<1000 sqr(2)
donc 10^12<1001^4<4*10^12

D'où les 12 chiffres, mais bon le binôme de newton est sans doute mieux :briques:

 

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