Python et probabilité

[Bastoune66]

Bonjour,
J'ai un exercice de maths mais je ne comprends pas quoi faire.
À fin de simplifier les choses, on considère qu'une année comporte 365 jours.
Soit k un entier supérieur ou égal a 2. On note pk la probabilité que dans un groupe composé de k personnes, au moins 2 est la même date d'anniversaire.
1) Justifier que pk = 1- (A^k365)/365^k ou A^k365 = n!/(n-k)!
2) Compléter le script si contre afin qu'il retourne la probabilité pk pour une valeur de k donnée.
Programme :
Def pk(k):
N= .......
For i in range (.....,.....):
N= ......
Return(1-N/365**k)
J’ai fais la question 2 mais je n’arrive pas à justifier la 1

[Sylviel]

La probabilité que "au moins deux" est souvent plus facile à calculer en passant par l'évènement contraire.
Donc ici, quel est la probabilité que, dans un groupe de k individus, aucun n'ai la même date d'anniversaire ?

(Au passage pour pouvoir écrire la formule tu auras besoin d'hypothèses qu'il est bon d'expliciter).

[Bastoune66]

A^k365 correspond au cas possible si deux personnes ont leurs anniversaires en même temps.
Donc (A^k365)/(365^k) correspond à la probabilité de l’événement contraire.
Donc 1-(A^k365)/(365^k) correspond à la probabilité que dans un groupe de k personnes, deux aient la même date d’anniversaire.
Mais après je ne sais pas quoi faire pour justifier.

[Sylviel]

C'est un peu fouilli ton argumentation.

Commençons par le début : pour que la probabilité soit "nombre de cas favorables" / "nombre de cas possibles" il faut être dans un cadre d'équiprobabilité des évènements élémentaires. Ici cela signifie deux choses :
i) qu'un individu a une chance sur 365 d'être né à un jour j : il n'y a pas de jours/période privilégié (ce qui est faux, mais qu'on suppose vrai ici)
ii) que la date de naissance d'un individu n'influe pas sur celle d'un autre (ce qui est également faux : les jumeaux viennent perturber cette hypothèse)

En supposant l'équiprobabilité,
A_k^365 est le nombre de manières de choisir k dates distinctes parmi 365 (donc le nombre de cas où chaque individu a une date d'anniversaire différente des autres)
365^k est le nombre de manières de choisir k dates parmi 365 (donc le nombre de cas possible)
A_k^365 / 365^k est donc la probabilité que ...
Et finalement
1 - A_k^365 / 365^k est la probabilité que ...

P.S: au fait si tu as un doute
i) si on veut des dates distinctes : le premier individu a 365 choix, le second 364, le troisième 363...
donc au total, pour les k individus on a 365*364*...*(365-k+1) = 365!/(365-k)! choix
ii) si on se fiche des dates distinctes ou non : le premier individu a 365 choix, le second 365, le troisième 365... donc au total, pour les k individus on a 365^k choix

[Bastoune66]

D’accord merci
La question 3 nous donne un autre programme qui fait appel à la fonction pk précédente.
Def anniversaire (p):
k=2
while pk(k)<p:
k=k+1
return(k)

La question c à laquelle je n’y arrive pas dit programmer les deux fonctions plus interpréter le résultat retourné par l’appel anniversaire (0.9).