Exercice sur les matrices

[ValG4]

Bonjour,
J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre:



| 3-m -2 3 |
On pose la matrice M=A-mI=| 1 -m 2 |
| 0 0 2-m |

1) Calculer le déterminant de la matrice M. Pour quelles valeurs de m, la matrice M est-elle inversible?
2) Démontrer que Ker (f - Id) et Ker (f-2Id) sont des droites vectorielles dirigées respectivement par des vecteurs u1 et u2 ( On prendra u1 et u2 avec 1 pour 2ème composante).
3) Déterminer le vecteur u3, avec 1 pour 2ème composante, tel que f(u3) = u2+2u3.
4) Démonter que B' = (u1,u2,u3) est une base de R3.
5) Déduire des questions 2 et 3 la matrice A' de f dans la base B'.
J'ai reussi les 2 premières questions mais je ne vois pas du tout comment faire la suite

Merci d'avance pour vos réponses.

[GaBuZoMeu]

Tu ne le dis pas, mais je suppose que est la matrice de (dans la base canonique de ).

Tu connais . Alors est juste un système de trois équations linéaires à trois inconnues (les composantes de ). Tu devrais savoir le résoudre. Il y a une infinité de solutions, mais on t'impose la deuxième composante.

[ValG4]

Merci beaucoup,

Oui, a est bien la matrice de f.

Je ne vois par contre pas comment poser le système d'équations pour la suite.

[GaBuZoMeu]

Tu as la matrice de .
Tu as les composantes de
Tu cherches

Vraiment, tu ne vois pas comment traduire par un système d'équations linéaires en ???

[ValG4]

Je trouve u3 = (1;1)

Cela semble-t-il cohérent?

[GaBuZoMeu]

Non, ce n'est pas cohérent avec le fait que est un élément de .

[ValG4]

Je trouve finalement u3 = (1;1;0)

Merci pour vos réponses

[GaBuZoMeu]

Je n'ai pas fait les calculs, je te laisse la responsabilité de la correction. Tu peux vérifier que tu as bien .