Mathématiques produits scalaire

[lisa21]

Bonjour,
J’ai un devoir de mathématiques et je galère sur quelques questions
Nous avons un triangle ABC, sur ce triangle on a les 3 hauteurs. On nomme H1,H2 et H3 les pieds de chacune de ces hauteurs issues respectivement de A, B et C.

1) Démontrer que pour tout point M du plan on a AM.BC+BM.CA+CM.AB=0
Il s’agit de vecteurs
2) Que peut on dire si AM.BC=0 et si BM.CA=0 ?

On a tracé sur ce triangle les médiatrices
Soit M le point défini par OM=OA+OB+OC où O est l’intersection des médiatrices
1) Démontrer que AM.CB=0. En déduire sur quelle droite remarquable du triangle se trouve le point M.
2) Démontrer de meme que BM.CA=0 et interpréter

Merci par avance
Bonne fin de journée

[annick]

Bonjour,

pour ta première question, essaye d'exprimer BM et CM en fonction de AM.
Tu peux ensuite factoriser par AM et tu devrais aboutir au résultat.

[lisa21]

Bonjour Annick,
Je n’ai pas compris comment faire

[annick]

Je démarre :

BM=BA+AM

CM=...

Essaye de voir ensuite si tu peux mettre AM en facteur.

[lisa21]

CM=CA+AM ?
Je comprend pas comment factoriser avec ça?
AM.(AB+BC+CA)=0

[annick]

Tu as :

AM.BC+BM.CA+CM.AB=
AM.BC+(BA+AM).CA+(CA+AM)AB=
AM(BC+CA+AB)+BA.CA+CA.AB=
AM(BA+AB)-AB.CA+CA.AB=
AM(-AB+AB)-AB.CA+AB.CA=0

D'accord ?

[lisa21]

Oui d’accord j’ai compris merci
Pour la deuxième question je ne sais pas si c’est seulement dire que CM.AB=0 ou alors c’est un rapport avec l’orthogonalité?

[annick]

Oui, CM.AB=0 Donc comment sont les vecteurs CM et AB ? Qu'est-ce que ça veut dire pour la position de M ?

AM.BC=0 donc comment sont les vecteurs AM et BC ? Qu'est-ce que ça veut dire sur la position de M ?

De même pour BM.CA.

Qu'est-ce qu'est alors le point M ?

[lisa21]

Les vecteurs sont perpendiculaire non?
M est l’intersection non?

[annick]

Oui, M appartient à chacune des hauteurs, donc c'est le point de concours des hauteurs.

[lisa21]

Quand tu me dis comment sont les vecteurs CM et AB je n’ai pas compris la réponse? Ils sont orthogonaux?

[annick]

Ben oui, lorsque le produit scalaire est nul, cela veut dire que les vecteurs sont orthogonaux.
As-tu fait une figure pour voir un peu tout ça ?

[lisa21]

Du coup pour la deuxième question je dois dire qu’ils sont orthogonaux ou simplement dire que CM.AB=0
Oui j’ai fais une figure

[annick]

Pour ma part, je dirai que :

AM.BC=0 donc (AM) perpendiculaire à (BC) et M appartient à la hauteur issue de A
BM.CA=0 donc (BM) perpendiculaire à (AC) et M appartient à la hauteur issue de B
AM.BC+BM.CA+CM.AB=0 donc CM.AB=0
CM.AB=0 donc (CM) perpendiculaire à (AB) et M appartient à la hauteur issue de C

M est donc le point de concours des hauteurs du triangle ABC, soit l'orthocentre de ce triangle.

[lisa21]

Merci beaucoup pour toutes vos informations, j’ai compris
Petite question pour la deuxième partie c’est à dire sur les médiatrices je ne comprend pas comment peut-on démontrer que AM.CB=0 et BM.CA=0?