Montrer une équivalence en algèbre

[shar]

Bonjour , je dois montrer l'équivalence suivante:

Soit E un K-ev de dimension fini, et soit f un endomorphisme de E.
Montrer que:



J'ai réussi à montrer la condition nécessaire, pour la condition suffisante j'ai écris:

Supposons que
Soit

donc il existe tel que:



donc

d'où

Or donc x s'écrit comme la somme d'un élément de im f et d'un élément de Ker f.

Autrement dit , E= Im f + Ker f.


Je n'arrive pas à montrer que l'intersection de Im f et ker f se réduit à {0}.

Soit , càd:
et il existe

Et ensuite je n'arrive pas à montrer que x=0.
(NB: je sais que je peux simplement dire que dim E=rg f+ dim Ker f et obtenir le résultat mais je veux savoir comment faire de l'autre manière aussi)

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Ton est mal passé à cause d'une espace manquante.

Tu n'as aucune chance de montrer ce que tu veux sans faire intervenir la dimension finie. En effet, l'équivalence est fausse en dimension infinie. Prends comme exemple et la dérivation.

Donc, hors de l'égalité du rang, pas de salut.