2nd degré

[Tar10]

Bonjour je souhaiterais que l’on m’éclaire un peu sur un DM...

Dans un repère orthonorme ou l’unité est le mètre, on a A(0;0), B(2;0); M(0;2,3) et N(2;3,2). L’arc MN est un arc de parabole T d’équation y= ax^2+by+c.
La tangente à cet arc de parabole en N est horizontale.

1. Déterminer l’équation de cet arc de parabole.
2. Pour découper cette porte le fabricant a le choix entre deux formes de panneaux prédécoupés : soit un rectangle ABNP, vendu à 35e le m^2, soit un trapèze ABQR, vendu à 38e le m^2. Pour le trapèze, la droite (QR) est la tangente à la courbe T au point d’abscisse 1. Quelle est la forme la plus économique ? Justifier.

Pour le 1) j’ai commencé par utiliser la forme canonique, étant donné que l’on déduit alpha et bêta grâce au point N(2; 3,2), et sachant que le point M(0; 2,3)appartient à l’arc MN, on a :

a(0-2)^2+3,2 = 2,3
a(0-2)^2= -0,9
4a = -0,9
a = -0,225

Donc y = -0,225(x-2)^2 + 3,2
= -0,225( x^2+ 4x + 4) +3,2
= -0,225x^2- 0,9x +3,2
pour l’avoir sous la forme ax^2+bx+c

Et du coup dans la 2) pour savoir quelle est la forme la plus économique, j’ai pour le trapèze :
dérivé ma fonction plus haut, ce qui me donne :
-0,225*2x-0,9
-0,45x-0,9
Fait l’équation de la tangente au point F
y = f’(1 ) ( x-1)+ f(1)
=(-0,45*1-0,9)(x-1)+(-0,225*1^2-0,9*1+3,2)
= -1,35(x-1) + 2,075
= -1,35x +1,35 + 2,075
= -1,35x+ 3,425
Et j’ai calculé la composante y des points R et Q pour par la suite trouver l’aire
du trapèze, mais c’est la que je rencontre un soucis, puisque la coordonnée
yQ = -1,35*2 +3,425 = 0,725

ce qui n’est pas possible car de tte façon:
yR = -1,35*0+3,425 = 3,425

J’aimerais savoir où j’ai fait une erreur ?

[Sa Majesté]

Salut,

L'équation que tu trouves n'est pas bonne.
Puisque le point M(0;2,3) est sur la parabole, tu dois avoir y(0)=2,3 donc c=2,3.
Ensuite pour trouver a et b, il faut utiliser le fait que N est sur la parabole et que N est le sommet de la parabole puisque la tangente en N est horizontale.

[Tar10]

Ok donc en résolvant un système :
M(0;2,3) <=>f(0)= 2,3 <=> a*0^2+b*0+c= 2,3
donc oui on trouve bien c = 2,3
N(2;3,2) <=> f(2)= 3,2 <=> 2a^2+2b+2,3 = 3,2
2a^2+2b = 0,9
Mais la je sais pas comment continuer en utilisant la méthode de substitution

[Sa Majesté]

N(2;3,2) <=> f(2)= 3,2 <=> 2a^2+2b+2,3 = 3,2

Tu t'es mélangé les crayons.
f(2)= 3,2 <=> 4a+2b+2,3 = 3,2

[Tar10]

Oula est ce que tu pourrais me détailler ce que t’a fait stp

[Sa Majesté]

Oui je pourrais.
Mais c'est à toi de le faire.

[Tar10]

Le 2b et 2,3 c’est ok mais comment as tu trouvé 4a sachant que l’équation est de la forme ax^2+bx+c ?

[Sa Majesté]

Tu as f(x)=ax²+bx+c
Et f(2)= 3,2
Donc tu remplaces x par 2 et ça donne 2²a+2b+c=3,2

[Tar10]

Ok oui je viens de comprendre pour le carré...
Mais je voudrais juste savoir ensuite comment on enchaîne parce qu’on a pas bcp vu pr les systèmes en cours et je ne sais pas quelle méthode utiliser pour le faire

[Sa Majesté]

OK mais malheureusement je n'ai plus le temps là.
J'espère que qqn aura le temps ce soir.
Bon courage.