Logarithme terminale s

[SINGED32]

Salut, j'ai un DM dont je n'arrive pas plusieurs questions.
L'énoncé est :
Partie I
1. Montrer que pour tout u > −1, ln(1+u ) <u. (*) (On pourra étudier une fonction)
2.Montrer que si x>-1 alors -x/(1+x)>-1
3. En appliquant l’inégalité (*) à u=-x/1+x montrer que pour tout x>-1 ln(1+x)>x/1+x
4.Déduire des inégalités (*) et (**) que pour tout entier naturel k non nul, 1/(1+k)<ln(k+1)-ln(k)<1/k

Mes réponses dont je ne suis pas sur du tout:
1)ln(1+x)<x <=> ln(1+x)-x<0
Soit f(x)=ln(1+x)-x l'écart algébrique entre ln(1+x) et x.
f'(x)=(1/1+x)-1

On peut alors construire le tableau de variation suivant:
x
-1 0 +inf
f'(x)
+ 0 -

f(x)

^ 0 \
/ \
/ v

Ainsi on voit pour tout x>-1 f(x) est négatif, donc ln(1+x)<x


2)-x/1+x>-1 <=> (-x/1+x)+1>0
Soit g(x)= (-x/1+x)+1 =(-x+1+x)/1+x =1/1+x
g'(x)=-1/(1+x)²
(1+x)² étant positif sur ]-1;+inf[ g'(x) est du signe de -1 donc négatif

On peut alors construire le tableau de variation suivant:
x
-1 +inf
g'(x)
|| -

g(x)

|| \
|| \
|| v 0

Ainsi pour tout x>-1 g(x) est positif, donc -x/1+x>-1


3)On sait pour tout x>-1 que ln(1+x)<x ln(1+x)<-1 alors que -x/1+x>-1
Donc ln(1+x)<-x/1+x
ln(1+x)>x/1+x


4)D'abord on sait sur R*+ que ln(1+x)<x et que ln(1+x)>x/x+1
Ainsi on obtient l'égalité x/x+1<ln(1+x)<x

Néanmoins si on y remplace x par 1/k on a:
(1/k)/(1+k)/k<ln(1+(1/k))<1/k
k/k(1+k)<ln((k+1)/k)<1/k
1/(1+k)<ln(k+1)-ln(k)<1/k

Ensuite les questions où je bloque:
Partie II n
Soit (un ) définie pour tout entier naturel n non nul par : Un=1/n+1+1/n+2+...+1/2n=Σ 1/n+k
k=1
1. En appliquant l’inégalité de la partie 1 à k = n+1, ..., n +(n −1), 2n , montrer que:
Un+(1/2n+1)-(1/n+1)<ln(2n+1)-ln(n+1)<Un
2. En déduire que pour tout entier naturel n: ln(2n+1/n+1)<Un<ln(2n+1/n+1)+n/(n+1)(2n+1)

En particulier je ne comprends pas la phrase "En appliquant l’inégalité de la partie 1 à k = n+1, ..., n +(n −1), 2n"

HELP PLS

[Sa Majesté]

Salut

La 1) OK

La 2) OK mais tu compliques la vie. Pas besoin de calculer la dérivée de g.
g(x)= 1/(1+x)
Pour tout x > -1, 1+x > 0 donc 1/(1+x) > 0

La 3) je ne vois pas bien ton raisonnement, pourrais-tu être plus explicite ?

[SINGED32]

j'au juste multiplié ln(1+x)<-x/1+x par -1 sans mettre le - sur ln(1+x), ça donne ln(1+x)>x/1+x

[Sa Majesté]

Etrange ...
En tout cas ce n'est pas ça

[SINGED32]

Oui c'est bien ce que je pensais

[SINGED32]

Mais je vois pas comment faire sinon

[Black Jack]

Salut,

Oui, enfin pour la 1 ce n'est que presque OK

En u = 0, on a ln(1+u) = 0 et donc ln(1+u) < u est faux en u = 0

L'énoncé devrait être : Montrer que pour tout u > −1, ln(1+u ) <= u

[SINGED32]

Ah oui désolé c'est moi qui c'est trompé