Diagonalisation - Sous-espaces propres

[epanadiplose]

Bonjour,

Dans la correction d'un exo, on suppose diagonalisable et on note la matrice diagonale associée.
On a montré dans les questions précédentes que et ont les mêmes sous-espaces propres.
Et à la fin, on en conclut que (en écrivant juste "car et ont les mêmes sous-espaces propres").
Je ne vois pas pourquoi cela serait vrai...
Une matrice diagonalisable n'a-t-elle pas toujours les mêmes sous-espaces propres que sa matrice diagonale "associée" ?

[tournesol]

C'est un problème de cadre .
Ta question-affirmation concerne le cadre suivant:
E est un K-espace vectoriel de dimension finie n , et u est un endomorphisme de E .
Soient a et b deux bases de E , et soient A et B les matrices respectives de u dans ces deux bases .
Alors A et B ont les mêmes sous espaces propres (façon de parler) mais qui sont en réalité des sev de E .
Mais attention: si X est la matrice des coordonnées d'un vecteur propre x de u exprimé dans la base a , alors AX=lambdaX mais si a et b sont différentes , on aura pas BX=lambdaX
On aura BX'=lambdaX' , avec X' matrice des coordonnées de x dans la base B .
Le cadre de ton exo est purement matriciel .
A et B sont diagonalisables et elles ont les mêmes vecteurs propres . Il existe donc X1,...Xn base de K^n tels que pour tout k , AXk=lambdakXk et BXk=mukXk . Cela ne prouve pas que A=B et (ou) que lambdak=muk
Par exemple si Ax=2X , alors (3A)X=6X ; A different de 3A et 2 différent de 6 .
Mais si B est diagonale ...