Is Square ?

[ComeDuRondeau]

Salut,

En travaillant sur ma thèse je suis tombé par hasard sur un problème d'arithmétique amusant et accessible (niveau L1/L2 je dirais). J'ai pris plaisir à le résoudre, j'espère que ce sera aussi votre cas .

On considère un entier où est premier et entier et . Montrer que n'est pas un carré.

[GaBuZoMeu]

Si on raisonne modulo 8, on voit que pour tout nombre impair , n'est pas un carré.
Restent les puissances de 2.

[ComeDuRondeau]

Bien vu .

Spoiler pour conclure : même chose mod 3.

En plus ce que tu as fais montre que toute solution (donc pas de la forme p^n) est divisible par 2.

[GaBuZoMeu]

J'ai déjà montré par l'argument modulo 8 que toute solution est paire (tout entier tel que est un carré est pair). Et il y a un bon paquet de solutions paires.
Il me faudrait une autre idée pour montrer que les puissances de 2 ne sont pas des solutions.

[ComeDuRondeau]

J'ai déjà montré par l'argument modulo 8 que toute solution est paire (tout entier tel que est un carré est pair). Et il y a un bon paquet de solutions paires.
Il me faudrait une autre idée pour montrer que les puissances de 2 ne sont pas des solutions.

Oui pardon mon astuce ne suffit pas !

Je corrige : On écrit . En réduisant modulo 3 on constate que carré si et seulement si est impair. En réduisant module 5 on constate que carré si et seulement si est pair. D'où la contradiction.

[GaBuZoMeu]

OK.