Is Square ?
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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ComeDuRondeau
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par ComeDuRondeau » 17 Sep 2019, 18:28
Salut,
En travaillant sur ma thèse je suis tombé par hasard sur un problème d'arithmétique amusant et accessible (niveau L1/L2 je dirais). J'ai pris plaisir à le résoudre, j'espère que ce sera aussi votre cas
.
On considère un entier
où
est premier et
entier et
. Montrer que
n'est pas un carré.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 17 Sep 2019, 19:42
Si on raisonne modulo 8, on voit que pour tout nombre impair
,
n'est pas un carré.
Restent les puissances de 2.
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ComeDuRondeau
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par ComeDuRondeau » 18 Sep 2019, 13:05
Bien vu
.
Spoiler pour conclure :
même chose mod 3.En plus ce que tu as fais montre que toute solution (donc pas de la forme p^n) est divisible par 2.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 18 Sep 2019, 14:48
J'ai déjà montré par l'argument modulo 8 que toute solution est paire (tout entier
tel que
est un carré est pair). Et il y a un bon paquet de solutions paires.
Il me faudrait une autre idée pour montrer que les puissances de 2 ne sont pas des solutions.
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ComeDuRondeau
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par ComeDuRondeau » 18 Sep 2019, 15:45
GaBuZoMeu a écrit:J'ai déjà montré par l'argument modulo 8 que toute solution est paire (tout entier
tel que
est un carré est pair). Et il y a un bon paquet de solutions paires.
Il me faudrait une autre idée pour montrer que les puissances de 2 ne sont pas des solutions.
Oui pardon mon astuce ne suffit pas !
Je corrige :
On écrit . En réduisant modulo 3 on constate que carré si et seulement si est impair. En réduisant module 5 on constate que carré si et seulement si est pair. D'où la contradiction.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 18 Sep 2019, 15:52
OK.
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