Exercice maths fonction

[asefthukom]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'aide sur un exercice de maths :

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x-ln [(x^2+1)/2]

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R. Montrer que, si −1<=x <=1, alors −1<=f (x )<=1.
2. Montrer que, pour tout x de [ –1 ; 1 ], on a f (x) >= x.

Mes réponses :

1)
f(x) = x-ln [(x^2+1)/2]
f'(x) = 1 - [2x/(x^2+1)] = (x-1)^2 / (x^2 + 1)
Ensuite je suis bloquée... Dois-je faire un tableau de variations?

2)
D'après la question 1, si −1<=x <=1, alors −1<=f (x )<=1
−1<=x <=1 si et seulement si −1<= x-ln [(x^2+1)/2] <=1
Mais ensuite je ne comprends pas de quelle manière je peux prouver que f(x)>= x.

SVP ce serait très gentil si quelqu'un pouvait prendre le temps de m'éclairer.
Merci d'avance

[Tuvasbien]

La dérivée de ta fonction est clairement positive, il te reste plus qu'à faire un tableau de variations. Pour la 2) tu peux raisonner par équivalences.

[asefthukom]

Merci d'avoir répondu.

Alors j'ai fait un tableau de variation. Le terme du haut est égal à 0 lorsque x = 1 par contre le terme du bas je n'arrive pas à simplifier x^2 + 1 = 0.

[pascal16]

x² + 1 = 0 n'as pas de solution
x² +1, (fonction continue sur R) a donc toujours strictement le même signe sur R

[Tuvasbien]

L'étude des variations de f revient à l'étude du signe de f', x²+1>0 pour tout réel x, le numérateur est positif et ne s'annule qu'en x=1 donc

[mathelot]

bonsoir,
tu dois réviser:

- les propriétés du logarithme, en particulier
si a,b sont deux réels strictement positifs
ln(a/b)=ln(a)-ln(b)


-le lien entre le signe de la dérivée f' et les variations de f
si f'>0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle