Sous espaces vectoriels

[M791121]

Bonjour,
je suis actuellement en train d'étudier les espaces et sous-espaces vectoriels et je bloque sur un exercice ...

Énoncé:
"On définit IRp[X]= a0 + a1X + a2X2 + … + apXp, p appartenant à IN, (a0, …. , ap) appartenant à IRp+1 l’ensemble des polynômes à coefficients dans IR et de degré au plus p.

On rappelle la notation :
IR[X]= a0 + a1X + a2X2 + … + anXn, n appartenant à IN, (a0, …. , an) appartenant à IRn+1

Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels de IRX ?

1) R5[X]
2) P appartient à IRX, deg(P)=5
3) P appartient à IRX, P(X)=aX2 avec a appartenant à IR
4) P appartient à IRX, P(X)= X + a X3 , avec a appartenant à Q "

Je sais qu'il faut démontrer 3 conditions à chaque fois pour que ça soit un sous espace vectoriel, mais je ne vois pas du tout comment rédiger ça car il s'agit de polynômes ...
De plus est-ce que les questions 1) et 2) ne seraient-elles pas les mêmes cas ?

Merci d'avance

[Mimosa]

Bonjour

On te demande si ce sont des sous-espaces vectoriels. Polynômes ou autre chose, il s'agit d'éléments d'un espace vectoriel. Tu sais faire une combinaison linéaire de polynômes, donc tu peux vérifier.

Non, 1) et 2) ne désignent pas le même ensemble; relis attentivement les définitions.

[M791121]

re bonjour,je ne vois pas du tout comment faire une combinaison linéaire dans ce cas ...
il faudrait bien utiliser cette forme là : v= a1v1 + … + anvn ?

[Mimosa]

Si tu as et , tu ne sais pas écrire le polynôme ?

[M791121]

oui, mais dans ce cas là il n'y a pas de polynôme définit ..

[Mimosa]

Eh bien, tu le fais avec des polynômes quelconques!