Espérance conditionnelle

[straatje]

Bonjour à tous,

Nous avons vu récemment les espérances conditionnelles. Sur la théorie, ça va. Mais, dès qu'il faut faire des calculs explicites, je suis complètement largué...

Voici la définitions que nous avons vue en cours (je sais que, d'un poly à l'autre, ça n'est jamais défini pareil) :

Soit un espace probabilisé, ou et une sous-tribu.
est l'unique variable aléatoire mesurable telle que pour toute variable aléatoire mesurable, .

Puis, on a vu un exemple (et c'est là que les problèmes commencent) :

Soit , , , avec

Calculer .

Voici la solution proposée :

On pose
Soit

= où (0)
= (1)
= ) (2)
= )

Donc,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment on arrive aux lignes (1) et (2) (en gros, les passages (0) => (1) et (1) => (2)) ?

Ensuite, on a fait un second exemple :

En conservant les mêmes notations que dans l'exemple 1, on pose
Calculer .

Et là, on nous donne directement la solution, à savoir où

Et là, je ne vois pas du tout comment faire pour trouver cela... Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance pour votre aide.

[LB2]

Beaucoup de difficultés viennent de ton cadre très abstrait et général. La première chose à conprendre c'est que l'espérance conditionnelle E(X|Y) est une variable aléatoire, qui à un y de Y(Omega) associe E(X|Y=y).

Pour tout Y de Y(Omega), on peut calculer E(X|Y=y) si l'on connait la loi conditionnelle de X sachant Y=y.
Si de plus on connait la loi de Y, on peut alors retrouver l'espérance de X en invoquant les probabilités totales et obtenir le résultat E(X)=E(E(X|Y)) connu sous le nom de théorème de l'espérance totale.

La difficulté dans ton exemple vient du fait que tout n'est pas forcément G-mesurable, et donc que tu es obligé de définir l'espérance conditionnelle via des "fonctions tests" Z


Cela ne répond pas forcément directement à ta question

[straatje]

Merci pour ta réponse.

Oui, en fait, tout ça, j'avais bien compris

Mais là, il s'agit de calculer une espérance "sachant une tribu", et pas "sachant une autre variable aléatoire"...

[straatje]

Personne ?

J'ai beau reprendre ça dans tous les sens, je ne vois vraiment pas...