Vecteur seconde

[daniab]

Bonjour, je suis en classe de seconde et j'ai un DM à rendre mais je n'y comprend rien.
Pouvez vous m'aider ?

Objectif : on munit le plan d'un repere orthonormé (O;I;J) On sait que 2 droites D: y= ax+b et D': y=a'x+b'
sont parallèles si seulement et seulement si a=a'.
On va démontrer que ces 2 droites sont perpendiculaires si et seulement si aa'=-1.

EXERCICE 1: Droites linéaires perpendiculaires
Soient deuc droites Dₒ : y= ax et D'ₒ : y=a'x
1) Vérifier par le calcul que le point O (0;0) appartient à Dₒ et D'ₒ .
2) Soit A le point de Dₒ d'abscisse xₐ = 1. Calculer son ordonné yₐ .
3) Soit A' ( 1;a' ). Démontrer que A' appartient à D'ₒ .
4) Exprimer en fonction de a et de a' les distances OA, OA' et AA'.
5) En déduire : OA² + OA' ² = a² + a' ²+ 2 et AA' ²= a²+ a' ² - 2aa' .
6) Avec e théorème de Pythagore démontrer: "Dₒ et D'ₒperpendiculaires" ↔ aa'= -1

EXERCICE 2 : Droites affines perpendiculaires
Soit D: y= ax+b et D': y=a'x+b'. Les droites D'ₒ et Dₒ sont définis dans l'exercice 1.
1) Que dire des droites Dₒ et D ? En déduire : " D' et Dₒ perpendiculaire " ↔ aa'= -1
2) Que dire des droites D'ₒ et D'? En déduire: "D et D' perpendiculaire" ↔ aa'= -1

EXERCICE 3 : Application
1) Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à D': y= 3x+2 qui passe par C (3;3) .
2) Soient les droites D1 : y= -1,5x+1 , D2: y= 2/3x +1 , D3: y= -3/2x et D4: y= 2/3x
a/ Citez en justifiant, tous les couples de droites parallèles.
b/ Citez, en justifiant, tous les couples de droites sécantes. Montrer que ce sont aussi des couples de droites perpendiculaires.
c/ On considère le polygone (non croisé) dont les sommets sont les points d'intersections de tous les couples de droites sécantes.
Quelle est sa nature? Justifiez ( sans calculer les coordonnées des points d'intersection) .

Merci

[Manny06]

Qu'as-tu fait jusqu'à présent ?

[daniab]

Bonjours, je ne pense pas que se que j'ai écrit ait beaucoup de sens mais voilà:

1) J'ai fait un système d'équation avec D ₒ : y=ax ; D'ₒ: y=a'x ; O(0;0)

0=0*a
0=0*a'

0-0=0 y=0
0a-0a'=0 x=0
Donc O appartient à Dₒ et D'ₒ. ( Désolé mais pour les systèmes d'équations je ne sais pas comment mettre les accolades donc je n'en ai pas mis.)

2)A(1;y) ; A appartient à Dₒ
Dₒ: y=ax
donc yₐ= 1*a
yₐ=a
Les coordonnées de A sont (1;a)

3) A'(1;a')
D'ₒ: y=a'x
donc yₐ'= 1*a'
yₐ'= a'
A' de coordonnées (1;a') appartient donc à D'ₒ.

4) On utilise la formule des distances : O(0 ;0) ; A(1 ;a) ; A'(1 ;a') ( V= racine carré)
OA: V(xₒ-xₐ )² +(yₒ-yₐ ) ²
V 1+a²

OA': V(xₒ-xₐ')²+(yₒ-yₐ')²
V 1 + a'²

AA': V(xₐ-xₐ')²+(yₐ-yₐ)²
V a²- 2aa'+a²

5)OA = V 1+a² donc OA²= V (1+a²)² = 1+a²
OA'= V 1+a'² donc OA'²= V(1+a'²)²= 1+a'²

OA²+OA'² = 1+a²+1+a'²
= a²+a'²+2

AA'=V(a-a')² donc AA'²= V((a-a')²)² = (a-a')² = a²+a'²-2aa'

L'exercice 2 : je ne sais pas comment faire

Exercice3

1) ?
2)a/D1 et D3 sont parallèles car elles sont parallèles car elles ont le meme coefficient directeur ( -1,5x= -3/2x )
D2 et D4 sont parralèles car elles ont le coef directeur.
b/ D1 et D2 sont perpendiculaires car elles ont la même ordonnée à l'origine. Mais j'ai remarqué que ça ne dépendait pas que de l'ordonnée à l'origine et que D3 et D4 le sont aussi mais je ne sais pass commet le justifer.

Merci de votre aide.