Question dualité

[galèrien]

Bonsoir, j'ai une question dans un exercice sur les bases duales que je n'arrive pas à faire, enfin ma réponse me semble bien trop naïve.

J'ai E un espace vectoriel de dimension n, F =(e1,...,e(n-1)) une famille libre de E et phi une forme linéaire sur E non nulle. On me demande une CNS pour que F puisse être complétée en une base de E de sorte que phi=en*.
J'ai envie de dire qu'il faut juste que phi(ei) = 0 sauf phi(en)=1 mais ça me semble pas terrible.
On attend de moi que je donne une application précise qui satisfait ces égalités ?

Je vous remercie d'avance.

[mathelot]

bonsoir,
conditions nécessaires:

si est une base de E et si alors
pour


conditions suffisantes:
soit une application linéaire non nulle telle que
pour

On complète la famille libre par le vecteur e_n de manière à obtenir une base de E.
étant non nulle


On prend pour base B , complétée par

alors
pour et
alors car les deux applications coïncident sur la base B