EQUATION FONCTIONELLE

[Aleatoire]

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour cet exercices ( juste des idées ou pistes probables)

Soit f R-->R tq f(x+y)=f(x)+f(y) ( x et y dans R)
On pose a=f(1)
1/ Montrer que pour tout x dans Q, f(x)=ax
2/ On suppose f bornéé au v(0) montrer que pour tout x dans R f(x)=ax

[mathelot]

bonjour,

n désigne un entier naturel.
on commence par calculer f(0).
puis on calcule f(n) , par récurrence sur l'entier n.


puis calculer f(-n).
puis, si p est un entier relatif et q un entier naturel
calculer en calculant

[Aleatoire]

mais on ne peut pas calculer f(p) par la formule obtenue par recurrence puisqu'elle est juste seulement pour les elements de N

[mathelot]

mais on ne peut pas calculer f(p) par la formule obtenue par recurrence puisqu'elle est juste seulement pour les elements de N

entretemps, on calcule f(-n) où n est un entier naturel. comme ça, on a la formule pour tout n dans

[Aleatoire]

malheureusement j'ai pas pu arrivé

[mathelot]

tu en es où ? as tu calculé f(0) ?

pour calculer f(-n), écrire de deux façons
f(n+(-n))

[Aleatoire]

j'ai reussi la premiere question , je parle de la deuxieme

[mathelot]

soit ,

on va montrer que , i.e, que f est -linéaire.


d'où


écrivons que f est bornée au voisinage de 0 (zéro):
tels que

quitte à prendre un alpha plus petit et un M plus grand, on peut supposer que et
sont des rationnels.
Comme f est Q-linéaire,pour


posons
soit


en revenant à la notation "x"
(*)

Soit
il existe une suite de rationnels de limite x.
on a l'inégalité



d'après l'inégalité (*):
(*)

pour n assez grand,
donc pour n assez grand


donc pour tout x réel,
f(x)=ax