Recherche d'ensemble dans l'espace [TS]

[Luc13000]

Bonsoir à tous !
Voila, j'ai un exercice sur les ensembles de points qui me pose légerement problème.

A,B,C sont 3 points de l'espace.
Dans chaque cas, déterminer l'ensemble des points M de l'espace satisfaisant la condition indiquée.

(NB : Ce sont à chaque fois des vecteurs )

a) (MA+2MB).(MA+MB) = 0
b) (MA+2MB).(MA-MB) = 0
c) MA.MB = 2MA.MC

Pour le a) et le b), j'ai décidé à chaque fois d'intercaler le point I milieu de [AB], et je trouve par exemple pour le a) : 3MI.2MI = 0
Or, cela m'étonnerait que ma démarche soit juste.
Quelqu'un aurait une idée s'il vous plait ?
Merci d'avance pour vos réponses ! :we:

[Elsa_toup]

Alors petit rappel: si le produit scalaire de 2 vecteurs est nul, cela signifie que les 2 vecteurs sont perpendiculaires (je crois.... :doute2: )

Donc il faut déterminer les points M tels que Ma+2MB soit perpendiculaire à MA+MB.

c'est malin, faut que j'y aille, là...

Mais je suis certaine que Rower va t'aider ! :lol: (et voilà, piégé!)

[Luc13000]

Merci pour ton indication ! :id:
C'est bien pour cela que je pense que ma démarche est fausse. Pourtant, pour le b), je trouve : 3 MI.(IA-IB) = 0
Cela signifirait donc que je dois démontrer que ces 2 vecteurs sont nuls ?

Merci d'avance pour vos réponses !

[Elsa_toup]

Non, pas qu'ils sont nuls, qu'ils sont perpendiculaires !
J'avoue que je n'ai pas eu plus le temps d'y réfléchir.

Je dois y aller, mais j'y songe...

[Luc13000]

Ah ok, je comprends.
Merci encore de ton aide.
Si quelqu'un d'autre pourrait m'apporter de l'aide, je lui en saurais très reconnaissant ! :we:

[Luc13000]

Pour b) (MA+2MB) . (MA-MB) = 0
J'ai intercalé le point I milieu de [AB]
--> ( MI + IA + 2MI + IB ) . (MI + IA - MI - IB ) = 0
--> 3 MI . (IA - IB) = 0
J'en déduis que l'ensemble des points M est la droite passant par I et de vecteur normal (IA - IB)
Est-ce juste ?

[Luc13000]

S'il vous plait, il n'y a vraiment personne pour me dire si mon raisonnement est correct ? :fan:

[Rower]

c'est exact et c'est un très bon raisonnement

[Luc13000]

Merci bien !
Voila ce que je trouve pour les différentes questions :

a) (MA+2MB) . (MA+MB) =0
--> (MI+IA+2MI+2IB) . (MI+IA+MI+IB) = 0
--> (3MI+IB) . MI = 0
Arrivé à ce point, je ne sais qu'est ce que je peux faire pour définir l'ensemble...

b) (MA+2MB) . (MA-MB) = 0
--> ( MI + IA + 2MI + IB ) . (MI + IA - MI - IB ) = 0
--> 3 MI . (IA - IB) = 0
J'en déduis que l'ensemble des points M est la droite passant par I et de vecteur normal (IA - IB)

c) MA.MB = 2MA.MC
--> (MI+IA).(MI+IB) - 2(MI+IA).MC = 0
--> MI² + MI.IB + MI.IA + IA.IB - 2MI.MC - 2IA.IC = 0
--> MI² + MI.(IB+IA-2MC) + IA.(IB-2IC) = 0
Comme pour la a), je ne suis plus quoi faire même si je pense que mon raisonnement est cohérent.

Merci d'avance pour votre aide ! :we:

[Luc13000]

Depuis tout à l'heure, je planche toujours sur cet exercice et je ne trouve rien de plus.

Pour le a) , si on développe : (3MI+IB) . MI = 0
Cela peut donner 3 MB.MI = 0 et on dit alors que l'ensemble est la droite passant par I et de vecteur normal (MB) mais cela ne me semble pas correct.

Pour le c), MI² + MI.(IB+IA-2MC) + IA.(IB-2IC) = 0
avec le -2MC, je ne sais pas du tout quoi faire.

S'il vous plait, help me ! :we:

[Elsa_toup]

Il est un peu tard pour moi pour y réfléchir là, mais si tu passes par là dimanche matin, sache que je reviendrai dans la journée.
Donc ne t'en fais pas, tu auras une réponse (fausse éventuellement, mais bon, c'est déjà ça ! :lol:

[Luc13000]

D'accord, merci beaucoup de bien vouloir t'attarder sur mon problème ! :we:
En tout cas, pendant ce temps, j'ai encore un peu réfléchi dessus mais je ne vois rien d'autre...

[Elsa_toup]

Ok, alors j'y ai pensé...
Définitivement, il faut utiliser la propriété "le produit scalaire de 2 vecteurs est nul <=> les vecteurs sont perpendiculaires".

Je tourne en rond, là, c'est affreux , mais ce qui est sûr c'est que, en effet, M=I est une solution pour le a).

Je n'abandonne pas, je vais comprendre !!!!

[Elsa_toup]

Bon alors voilà où j'en suis de mon raisonnement douloureux (posts inutiles, bonjour! :marteau: ) :

a => (3MA+2AB).(2MA+AB) = 0

3 cas:
1. (3MA+2AB) = 0 => MA perpendiculaire à AB
2. (2MA+AB) = 0 => MA perpendiculaire à AB (super, merci Elsa ! :ptdr: )
3. (3MA+2AB) perpendiculaire à (2MA+AB), et là.... c'est le drame!

[Luc13000]

Lol, on avance, on avance ...
Notre professeur nous a donné comme conseil d'intercaler le milieu I de [AB] dans les expressions, je ne sais pas si cela peut t'aider...

[Elsa_toup]

Je n'en peux plus, je craque :crash: .
AU SECOURS !!! :help:

J'abandonne, je déclare forfait, tu as gagné, l'exo !!!!
Si quelqu'un de moins bête que moi y arrive, je l'en félicite et l'en remercie par avance.

Je sais qu'il faut utiliser les angles, mais je n'arrive à aucun résultat, à part une folle envie de m'arracher un bras pour le transformer en vecteur....

A vous!

[Luc13000]

Merci quand même elsa d'avoir pris le temps de réfléchir sur mon problème !
Si quelqu'un d'autre peut essayer de m'aider, je lui en serai reconnaissant ! :we:

[crassus]

il faut introduire des barycentres ...MA+2MB= 3MG ou G barycentre de A(1) , B(2) (GA+2GB=O) et MA+MB=2MI où I milieu de [AB] ...donc la relation équi vaut à 3MG.2MI =0 ... donc MG.MI =0 insere dans les deux vecteurs par Chasles le point H milieu de [GI] developpe le produit scalaire ...tu obtiens apres simplification ...MH =HI il s'agit donc du cercle de centre H passant par I ou encore dsu cercle de diamètre [GI] .

DE MANIERE PLUS GENERALE : MA.MB =0 equivaut à M point du cercle de diametre [AB] .

[Elsa_toup]

Aaaaaaaaah, enfin une réponse!
Merci et bravo Crassus !

[Luc13000]

Merci crassus !
J'ai juste un problème : après avoir introduit H, je tombe sur
(3MH + 3HG).(2MH + 2 HI) = 0
MH² + MH.(HI+HG) + HG.HI=0
MH² + HG.HI = 0
MH² + (-GI/2 + GI/2 ) *1 = 0

Le problème, c'est que HG.HI ne devrait pas être égal à 0 ?

Merci d'avance de ta réponse ! :++: