Racine carrée de 3

[jxstdie]

Bonjour,

Je demande votre aide car il y a un exercice du dm que je dois faire pour la rentrée dont je ne comprends absolument pas le but. Voici l'énoncé et mon avancement en couleur :

"L'objectif de cet exercice est de démontrer l'existence et l'unicité de la racine carrée de 3. On n'y utilisera donc pas les propriétés de la racine carrée vues en cours.

On pose A = {a dans R+ : a^2 <ou=3}

1. Justifier que 0 est dans A

0 est dans R+ et 0^2 <ou= 3 donc 0 est dans A

2. Pour tout a dans A, montrer que a <ou=2
. En déduire que A admet une borne supérieure.

On cherche à montrer que quelque soit a dans A, on a a <ou=2
On a a^2 <ou= 3 <=> a^2 <ou= racine de 3 ou a <ou= - racine 3 mais n'est pas dans R+
Donc a <ou= racine 3 or, racine 3 < 2
(racine de 3 < 2)^2 --> la fonction carrée est croissante sur [0 ; + infini]
3 < 4
Conclusion : pour tout a dans A, on a : a <ou= racine 3 < racine 4 = 2

La borne sup de A, c'est le plus petit des majorants de A donc ici, le plus petit des majorants est racine 3 car racine 3 < 2


3. On pose r = sup(A). Montrer que 1 <ou= r <ou= 2

On a r = sup(A) = racine 3
Or, 1 <ou= racine 3 <ou= 2 car 1^2 <ou= 3 <ou= 2^2
Donc 1 <ou= r <ou= 2


4. Montrer que [0 ; r[ inclus dans A

Pour tout a défini sur l'intervalle [0 : r[, on a a dans R+ et a^2 <ou= 3, puisque r^2 = (racine 3)^2 = 3
Alors on peut dire que [0 ; racine 3[ inclus dans [0 ; 3]

5. Soit n dans N*.
Montrer que r - (1/n) est dans A,
puis (r - (1/n))^2 <ou= 3,
puis r^2 - 3 <ou= (12/n)

6. Justifier que inf ({ (12/n), n dans N*})= 0. En déduire que r est dans A

7. Montrer de même que pour tout n dans N* on a (r+(1/n))^2 >ou= 3 d'où 3 - r^2 <ou= (13/n)

8. En déduire r^2 = 3

Pour être précis je suis bloqué car la question 8 rend faux ce que j'ai écrit à la question 3 et 4 et je ne sais pas comment faire autrement...
J'espère que vous comprendrez ce que j'ai écrit, j'ai essayé d'être le plus clair possible.

Merci d'avance pour votre réponse.

[jlb]

Bonjour,

Je demande votre aide car il y a un exercice du dm que je dois faire pour la rentrée dont je ne comprends absolument pas le but. Voici l'énoncé et mon avancement en couleur :

"L'objectif de cet exercice est de démontrer l'existence et l'unicité de la racine carrée de 3. On n'y utilisera donc pas les propriétés de la racine carrée vues en cours.

On pose A = {a dans R+ : a^2 <ou=3}

1. Justifier que 0 est dans A

0 est dans R+ et 0^2 <ou= 3 donc 0 est dans A

2. Pour tout a dans A, montrer que a <ou=2
. En déduire que A admet une borne supérieure.

On cherche à montrer que quelque soit a dans A, on a a <ou=2
On a a^2 <ou= 3 <=> a^2 <ou= racine de 3 ou a <ou= - racine 3 mais n'est pas dans R+
Donc a <ou= racine 3 or, racine 3 < 2
(racine de 3 < 2)^2 --> la fonction carrée est croissante sur [0 ; + infini]
3 < 4
Conclusion : pour tout a dans A, on a : a <ou= racine 3 < racine 4 = 2

La borne sup de A, c'est le plus petit des majorants de A donc ici, le plus petit des majorants est racine 3 car racine 3 < 2


3. On pose r = sup(A). Montrer que 1 <ou= r <ou= 2

On a r = sup(A) = racine 3
Or, 1 <ou= racine 3 <ou= 2 car 1^2 <ou= 3 <ou= 2^2
Donc 1 <ou= r <ou= 2


4. Montrer que [0 ; r[ inclus dans A

Pour tout a défini sur l'intervalle [0 : r[, on a a dans R+ et a^2 <ou= 3, puisque r^2 = (racine 3)^2 = 3
Alors on peut dire que [0 ; racine 3[ inclus dans [0 ; 3]

5. Soit n dans N*.
Montrer que r - (1/n) est dans A,
puis (r - (1/n))^2 <ou= 3,
puis r^2 - 3 <ou= (12/n)

6. Justifier que inf ({ (12/n), n dans N*})= 0. En déduire que r est dans A

7. Montrer de même que pour tout n dans N* on a (r+(1/n))^2 >ou= 3 d'où 3 - r^2 <ou= (13/n)

8. En déduire r^2 = 3

Pour être précis je suis bloqué car la question 8 rend faux ce que j'ai écrit à la question 3 et 4 et je ne sais pas comment faire autrement...
J'espère que vous comprendrez ce que j'ai écrit, j'ai essayé d'être le plus clair possible.

Merci d'avance pour votre réponse.

Salut! Très rapidement tu utilises racine carrée de 3! On te dit que pour le moment on fait comme si cela n'existait pas!

[jxstdie]

Salut,
oui je me suis rendu compte mais du coup je ne sais pas comment faire c'est pour ça que je suis bloqué...

[jlb]

Salut, je n'ai pas trop le temps. Ta première réponse est bonne. C'est bof pour la 2) et je n'ai pas lu la suite. L'objectif de l'exo, c'est de montrer que la borne sup de l'ensemble est l'unique nombre positif qui vérifie x²=3. Et du coup, on pourra l'appeler et l'utiliser comme tu le connais depuis toujours ( racine carrée de 3).
Bilan, tu reprends tout ce que tu as fait sans utiliser de propriétés des racines mais tu peux utiliser tout ce que tu sais sur les carrées. Bon courage. Si j'ai le temps, je me connecte vers 19h et je pourrais voir si tu as des questions.