Suites et récurrence

[Lelexmgn]

Bonsoir,
Voici le sujet :
On considère la suite (Un) définie sur N par U0 = 2 et
U(n+1) = (Un + 2)/(2Un + 1) pour tout entier n.
On admet que pour tout entier naturel n, Un > 0

Démontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n, Un - 1 a le même signe que (-1)^n

La méthode de récurrence vue en cours est :
Initialisation : où on montre que la propriété (Pn) est vraie (en U0)
Hérédité : où on montre que la propriété (P(n+1)) est vraie pour tout Un
Conclusion.
La théorie ducoup je l'ai mais c'est dans la pratique que je coince... Je ne sais pas comment faire cette démonstration donc j'espère qu'un d'entre vous pourra m'aider !
Et je l'en remercie d'avance !

[qaterio]

Bonjour, bah non pour tout n, Un>0 donc pour tout n entiers non nuls, Un-1>0, prenons n=3, (-1)^3 est de signe négatif alors que Un-1 est de signe positif. T'es sûr de l'énoncé ?

[Lelexmgn]

Ba oui... Et Un n'est pas toujours positif normalement

[qaterio]

Bah là, t'as Un+2=2(Un+1)^2 donc ça peut pas être négatif... et si Un+1 est tout le temps positif, c'est que Un l'est également. (Y'a que U0 qui est susceptible d'être négatif, mais c'est même pas le cas).
Du coup tu conclus que c'est faux en donnant le contre exemple que j'ai donné.

[Lelexmgn]

Mais U1 = (2+2)/(2x2+1)
= 4/5
Et U1 - 1 = (4-5)/5
= -1/5

[qaterio]

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, (Un) -1, pas (Un-1) ...............

[Lelexmgn]

Ah zut j'ai essayé au maximum d'être clair dans la notation
Désolé

[qaterio]

Du coup, tu supposes que et tu montres que . Car si et (Un)-1 n'étaient pas du même signe alors leur produit serait négatif. Bon, essaie, et si t'y arrives pas, reviens poster.

[Lelexmgn]

Ba jusque là ca allait mais je ne sais pas comment démontré que (-1)^n est positif puis négatif puis positif ect.
Et c'est pareil pour (Un)-1

[aviateur]

Bonjour

Je te conseille fortement de suivre l'indication suivante. Si tu ne vois pas pourquoi a priori, tu comprendras a posteriori. En tout cas ça va te simplifier la vie.

Indication Montrer que pour tout par récurrence.

[qaterio]

si n est pair alors il existe k entier tel que n=2k, donc positif, je te laisse montrer que si n est impair, alors est négatif.
Bon, en tous cas, je vois que quelqu'un d'autre te viens en aide, peut être que tu comprendras mieux ce qu'il te diras.

[pascal16]

pour la récurrence
tu as plusieurs choix
-> démontrer que U(n+1)-1 et U(n)- 1 sont de signe opposés
-> une façon tordue est de trouver la relation entre U(n+2) et U(n)
tu as au final U(n+2) = 1 + (Un-1)/(4Un+5)
on voit nettement apparaître la relation de Un par rapport à 1
par contre il faut que l'initialisation soit faite pour les n pairs et le n impairs
et le bornage de Un est important

[nodgim]

@ Aviateur : il est plutôt évident que Un > 0.

A partir de là, on voit ( faire le calcul) que le signe de U(n+1) -1 est opposé au signe de Un - 1 .

[aviateur]

@nogdim tu as raison. J'avais le nez dans le guidon. En fait on a besoin de voir que . Mais j'avais pas vu le signe de .
Donc comme tu les dis la récurrence ne doit pas poser de problème.
Il faut simplement calculer le et voir apparaître