Système d'équations - Matrice augmentée

[MrLan]

Bonjour, je cherche à savoir si mon raisonnement est adéquat. J'arrive à quelque chose, mais je suis tellement incertain que votre aide serait la bienvenue.

Alors je dois résoudre le système suivant en utilisant la méthode de Gauss :

x + 2y + 2z = 109
2x + 2y + 3z = 164
3x + 4y + 5z = 273

J'ai créée ma matrice augmentée :

| 1 2 2 | 109 |
| 2 2 3 | 164 |
| 3 4 5 | 273 |

et les opérations effectuées furent les suivantes :
L3 = L3 - 3L1
L2 = L2 - 2L1

Je me suis retrouvé avec la matrice suivante :
| 1 2 2 | 109 |
| 0 -2 -1 | -54 |
| 0 -2 -1 | -54 |

J'ai donc effectué l'opération suivante :
L3 = L3 - L2

Je me suis retrouvé avec la matrice suivante :
| 1 2 2 | 109 |
| 0 -2 -1 | -54 |
| 0 0 0 | 0 |

J'ai enlevé L3 , donc matrice suivante :
| 1 2 2 | 109 |
| 0 -2 -1 | -54 |

J'ai 2 pivots et 3 variables, ma matrice est échelonnée.

Puisque j'ai moins de pivots que de variables, je me retrouve donc avec une infinité de solutions. (C'est là que débute mon questionnement. Question #1 : Ai-je raison?)

J'ai z comme variable libre.

On pose z = t1, t1 faisant partie de l'ensemble des réels

Mon système d'équations linéaires est maintenant le suivant :
x + 2y + 2z = 109
-2y - z = -54

-2y = -54 + t1

y = 27 - t1/2



x + 2(27 - t1/2) + 2(t1) = 109

x = 109 - (54 - t1) - 2t1

x = 109 -54 + t1 - 2t1

x = 55 + t1 - 2t1

x = 55 - t1

Réponse finale :

[x,y,z] = [55 - t1, 27 - t1/2, t1]

Question #2 : Suis-je dans le champ? Si oui, à quel endroit?

Merci d'avance.

Mr. Lan (Première publication ici, alors soyez indulgent si je n'ai pas respecté les règles de base du forum, merci!)

[Ben314]

Oui, c'est parfaitement O.K.
Le seul truc, c'est que ton discours (et surtout tes incertitudes) donnent un peu l'impression que, certes, tu connaît le vocabulaire et tu sait mener les calculs, mais que tu ne comprend pas bien le pourquoi on procède de la sorte ni vraiment ce que ça signifie :

Par exemple, lorsque tu écrit ça (sans être sûr de toi) :
| 1 2 2 | 109 |
| 0 -2 -1 | -54 |
J'ai 2 pivots et 3 variables, ma matrice est échelonnée.
Puisque j'ai moins de pivots que de variables, je me retrouve donc avec une infinité de solutions.
Je suis pas sûr que tu réagit bien concernant le fait que, ce que tu as sous les yeux, c'est en fait ça :
x+2y+2z=109
0x-2y-z= -54
Et que le fait que la deuxième ligne contienne un 0 devant le x (et c'est toi avec les opération précédentes qui t'est débrouillé pour qu'il y ait un zéro là) signifie que seule la première ligne "contient" du x.
Et comme cette première ligne on peut l'écrire x=109-2y-2z, ça signifie que x, tu n'en a plus rien à f... : une fois que tu aura trouvé le ou les éventuels couples (y,z) qui vérifient les autres équations, ben pour chaque couple (y,z) solution, il y aura un et un seul x correspondant.

Donc en fait il te reste plus qu'une équation (avec deux inconnues et pas trois), à savoir -2y-z= -54 et là, ben c'est vraiment pas la peine d'être une lumière pour voir qu'il y a des tonnes de solutions vu qu'on peut prendre soit y, soit z complètement au pif, puis adapter la valeur de l'autre variable pour que ça marche. Donc les solutions, c'est :
(1) Ou bien on prend y au pif, puis (pas le choix) z=54-2y puis (pas le choix) x=109-2y-2z=109-2y-2(54-2y)=1+2y
(2) Ou bien on prend z au pif, puis (pas le choix) y=27-z/2 puis (pas le choix) x=109-2y-2z=109-2(27-z/2)-2z=55-z

Et évidement, ça sert à rien d'écrire à la fois (1) et (2) vu que les deux traduisent (de façon légèrement différentes) exactement la même chose [donc on peut se contenter de n'écrire que le (2) comme tu le fait]

A noter qu'en procédant différemment (i.e. en mettant des 0 sur la 2em ou 3em colonne au lieu de la première au début) on pourrait aussi exprimer les solutions sous la forme :
(3) On prend x au pif, puis (pas le choix) y=x/2-1/2 puis (pas le choix) z=55-x

[MrLan]

Merci beaucoup, c'est très apprécié.

Pour ce qui est du niveau de compréhension, il n'est pas si mal, si ce n'est qu'une légère perte de confiance après avoir attendu 18 ans avant de commencer l'université...

Alors content de voir que mes notions sont encore bonnes après toutes ces années!

Merci encore!

Mr. Lan