Algèbre: application linéaire

[Barbotte]

Bonjour, je suis actuellement bloqué sur une exercice qui pose plusieurs question piège qui demande de donner des exemple d'application linéaire de R 2 -> R 2 qui n'a aucune valeur propre, ou encore une application linéaire de R 2 -> R 2 qui a une valeur propre et qui n'est pas diagonalisable et ces mêmes questions pour R 3 -> R 3
Si je pouvais avoir de l'aide ça sera super merci d'avance!

[LB2]

Bonjour Barbotte, connais-tu la notion de polynôme caractéristique pour une application linéaire de R^2 dans R^2 ou de R^3 dans R^3?

Cordialement

[Barbotte]

Oui avec la matrice A - X*(la matrice identité) ?
Mais je ne vois pas en quoi ça m'aiderait a trouver des exemple d'application linéaire qui n'ont pas de valeur propre.

[Mimosa]

Bonjour

Tu peux bien sur suivre la piste qui utilise les polynômes caractéristiques.
Tu peux aussi réfléchir de manière géométrique. Ne connais-tu pas une opération géométrique de dans lui-même telle que l'image d'un vecteur non nul ne lui soit jamais colinéaire?

[LB2]

Sais tu calculer le polynôme caractéristique de la matrice

par exemple?

Quel est le lien entre la notion de polynôme caractéristique et la notion de valeur propre? (voir ton cours si tu ne sais pas)

@Mimosa Tout à fait

[Barbotte]

Le polynôme de A serait X^2 -1 si je ne me trompe pas ? Donc X=1 et X=-1 seraient les valeurs propre de A, il faut plutôt trouver un polynôme du style X^2 +1 pour qu'il n'y ai pas de solution non ?

[LB2]

Le polynôme de A serait X^2 -1 si je ne me trompe pas ? Donc X=1 et X=-1 seraient les valeurs propre de A, il faut plutôt trouver un polynôme du style X^2 +1 pour qu'il n'y ai pas de solution non ?

Justement, attention au signe dans ton calcul de déterminant ! Et d'un point de vue géométrique, comme le disait Mimosa, à quelle transformation correspond cette matrice?

[Barbotte]

Si on remplace un 1 par -1 on a un polynôme du style X^2 +1 donc il faudrait que x^2=-1 donc impossible dans le réel je ne me trompe pas ?

[Barbotte]

Et aussi je ne vois pas non plus quelle application linéaire de pourrais pas être diagonalisable alors qu'elles ont une ou deux valeurs propres dans R^2 ou R^3

[Pseuda]

Si on remplace un 1 par -1 on a un polynôme du style X^2 +1 donc il faudrait que x^2=1 donc impossible dans le réel je ne me trompe pas ?

Bonjour

Tu veux dire qu'il faudrait que x^2=-1, donc impossible dans le réel ? En effet, la matrice obtenue n'a pas de valeurs propres dans R.

[Pseuda]

Et aussi je ne vois pas non plus quelle application linéaire de pourrais pas être diagonalisable alors qu'elles ont une ou deux valeurs propres dans R^2 ou R^3

Dans R2, il faut une application qui a une seule valeur propre double (si elle a 2 valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable), mais dont le sous-espace propre associé est de dimension 1.



Que peut-on mettre à la place du "?" pour que l'application linéaire associée à cette matrice soit dans ce cas ?

[Barbotte]

Oui c'est ce que je voulais dire petite erreur de frappe
Ah oui bien vu merci bien, il me reste plus que dans R^3

[Barbotte]

Et aussi je ne vois pas non plus quelle application linéaire de pourrais pas être diagonalisable alors qu'elles ont une ou deux valeurs propres dans R^2 ou R^3

Dans R2, il faut une application qui a une seule valeur propre double (si elle a 2 valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable), mais dont le sous-espace propre associé est de dimension 1.



Que peut-on mettre à la place du "?" pour que l'application linéaire associée à cette matrice soit dans ce cas ?

un 2 merci je viens de la trouver à l'instant

[Pseuda]

Oui c'est ce que je voulais dire petite erreur de frappe
Ah oui bien vu merci bien, il me reste plus que dans R^3

Dans R^3, le polynôme caractéristique est de degré 3, peut-il n'avoir aucune racine ?

[Barbotte]

je pense que non

[Pseuda]

Non en effet, un polynôme de degré 3 à coefficients réels a au moins une racine dans R (prends un polynôme de degré 3, limites en + et - l'infini ?, théorème des valeurs intermédiaires).

Les valeurs propres d'une application linéaire de R^n sont les racines dans R de son polynôme caractéristique. Donc, dans R^3, une matrice peut-elle n'avoir aucune valeur propre ?

[Barbotte]

Non ducoup elle en a au moins une, merci bien

[Mimosa]

Rebonjour

Pour finir ce que je voulais dire hier. Dans le cas du plan, il y a une erreur dans la matrice donnée par LB2.
Il s'agit de


dont le polynôme caractéristique est bien et qui représente la rotation de centre et d'angle et qui n'a évidemment pas de vecteur propre!

[LB2]

Rebonjour

Pour finir ce que je voulais dire hier. Dans le cas du plan, il y a une erreur dans la matrice donnée par LB2.
Il s'agit de


dont le polynôme caractéristique est bien et qui représente la rotation de centre et d'angle et qui n'a évidemment pas de vecteur propre!

Oui tout à fait! Merci de la correction