Seconde: Arithmétique

[miss13]

Pourriez vous m'orienter?

On considère 4 entiers naturels non nuls a,b,c et d tels que a/b
1. Démontrer à partir de l'inégalité précédente, l'inégalité bc-ad>0

voici ce que j'ai fait

a/ba/b-c/d<0
bc-ad>0

2.Démontrer la double inégalité a/b<(a+c)/(b+d)
Or ici je coince pourriez vous m'orienter?
j'ai pensé à réutiliser l'inégalité précédente c'est à dire bc-ad<0 suis je sur la bonne voie?

[rene38]

BONSOIR ?

1) Comment passes-tu de a/b-c/d0 ?
2) Même principe mais en 2 fois :a/b<(a+c)/(b+d)<c/d
- On calcule a/b-(a+c)/(b+d) qu'on réduit au même dénominateur.
- On calcule (a+c)/(b+d)-c/d qu'on réduit au même dénominateur.
Bien sûr, le résultat de la question 1) est utilisé.

[Imod]

Pour la première ( l'idée est la même pour la deuxième )
ad < bc donc ab+ad < ab+bc donc a(b+d) < b(a+c) donc a/b < (a+c)/(b+d) .
La dernière inégalité est obtenue en divisant chaque membre par b et b+d .

Imod

[miss13]

Bonsoir

Alors pour passer de a/c-a/d<0 à b/c-ad<0 j'ai mis sur le meme dénominateur

donc cela nous donne ad/bc-cb/bc = ad-cb

pour la deuxième question est ce normal si je trouve :

. a/b-(a+c)/(b+d) = (ad-bc)/b²+bd

et . [(a+c)/(b+d)]-c/d = (ad-cd)/d²+bd

[miss13]

Bonsoir I mod voici ce que j'ai trouvé en suivant votre technique

addonc cd+addonc d(a+c)donc d/c
mais ce n'est pas très cohérent :hum:

[Imod]

Ce n'est pas cohérent parce que tu t'es trompé :

d(a+c)
Imod

[miss13]

AH ok D'accord, pourriez vous m'expliquer comment vous avez fait pour passer de ad< bd à cd+ad

[Imod]

AH ok D'accord, pourriez vous m'expliquer comment vous avez fait pour passer de ad< bd à cd+ad<cd+bc

ad<bc , on ajoute cd de chaque côté : cd+ad<cd+bc .

La méthode peut paraître artificielle mais il n'en est rien , quand on n'arrive pas à démontrer une formule directement , on part du résultat , on essaie de retouver les données puis on regarde si le procédé est inversible . Ici :

si a/b < (a+c)/(b+d) alors a(b+d)<b(a+c) alors ab+ad<ba+bc et ad<bc .

Si tu lis à l'envers ce que je viens d'écrire tu retrouves la démonstration de l'inégalité .

Imod

[miss13]

ah ok d'accord merci, je ne pensais pas qu'on pouvait ajouter , je pensais qu'on ne pouvais que multiplier les membres ou les diviser

[Imod]

Imagine une inégalité comme les deux plateaux d'une balance en déséquilibre , si tu ajoutes ou enlèves la même quantité de chaque côté , tu conserves le même déséquilibre .

Imod