Exercice d'arithmétique de seconde générale

[Blabla26]

Bonjour, pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plaît. Je ne sais pas si tout comment m'y prendre.
On note p un nombre premier, p>3
Il existe donc des entiers naturels q et r tels que p = 6q + r avec 0 <= r <= 5, r étant le reste de la division euclidienne de p par 6.
Dans les questions précédentes, on a :
- émis la conjecture que le reste de la division euclidienne d'un nombre premier strictement supérieur à 3 valait 1 ou 5;
- démontré que p est pair si r=2 ou r=4;
- démontré que p est divisible par 3 si r= 0 ou r=3.
Et donc les questions sur lesquelles je bloque sont les suivantes :
• En déduire que si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors il existe q appartenant à N tel que p=6q+1 ou p=6q+5
• Démontrer, à l'aide du résultat de la question précédente que le résultat du programme de calcul suivant est toujours égal à 1 :
- Choisir un nombre premier strictement supérieur à 3.
- Calculer son carré.
- Calculer le reste de la division euclidienne du résultat par 12.

Je vous remercie d'avance, j'espère vraiment que vous pourrez répondre à ces questions. Bonne journée.​

[phyelec]

Bonsoir,

Où bloquez-vous? Montrez-nous ce que vous avez essayé.

[Blabla26]

Bonsoir,

Où bloquez-vous? Montrez-nous ce que vous avez essayé.

Bonjour,
Je bloque sur la question "En déduire que si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors il existe un entier naturel q tel que p=6q+1 ou p=6q+5."
J'ai essayé de voir ce que ça donnait si j'isolais q, ce qui m'a donné :
p=6q+1
<=> p-1=6q
<=> (p-1)/6=q
<=> 1/6p-(1/6)=q

p=6q+5
<=> p-5=6q
<=> (p-5)/6=q
<=> 1/6p-(5/6)=q
Or 1/6 et 5/6 ne sont pas du tout des entiers naturels donc je ne sais pas trop quoi faire...
De plus la formulation "En déduire" me fait penser qu'il faut utiliser ce que j'ai fait avant (démonstration que p est pair quand r=2 ou r=4 et démonstration que p est divisible par 3 quand r=0 ou r=3) cependant je ne vois pas trop comment faire.

[stummel]

Concrètement que signifie que p = 6q + r ? N'y aurait-il pas une histoire de modulo à faire apparaître ?
r serait alors le résultat du modulo. ..
Explore par là et tu verras que la réponse est assez évidente compte tenu des questions précédentes et du fait que p est un nombre premier.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Est-ce qu'un nombre pair strictement plus grand que 3 peut être premier ?
Est-ce qu'un nombre divisible par 3 et strictement plus grand que 3 peut être premier ?

[Blabla26]

Bonjour,
Est-ce qu'un nombre pair strictement plus grand que 3 peut être premier ?
Est-ce qu'un nombre divisible par 3 et strictement plus grand que 3 peut être premier ?

Bonjour,

Étant donné qu'un nombre premier est défini par "un nombre qui admet exactement 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même", alors un nombre pair strictement supérieur à 3 ne peut pas être premier car il a plus de 2 diviseurs positifs (2, 1 et lui même au minimum). De même qu'un nombre divisible par 3 et strictement supérieur à 3 ne peut pas être un nombre premier pour la même raison (au minimum 3 diviseurs au lieu de 2 : 3, 1 et lui-même).
Bonne journée.

[GaBuZoMeu]

Oui, et ensuite ? Tu devrais pouvoir conclure.

[Blabla26]

Oui, et ensuite ? Tu devrais pouvoir conclure.

Oui j'ai rédigé quelque chose mais je ne suis pas certain que cela soit assez justifié pour être une bonne réponse. Pourriez vous me donner votre avis ?

Quand r=0, r=2, r=3 et r=4, p n'est pas un nombre premier comme cela est précisé dans l'énoncé ("On note p un nombre premier, p>3" (ligne 1 de l'énoncé)).
En effet un nombre premier est défini par "un nombre qui admet exactement 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même", ce qui n'est pas le cas d'un nombre pair (qui admet au minimum 3 diviseurs positifs (plus de 2, donc) : 1, 2 et lui-même) ou d'un nombre divisible par 3 (qui a au minimum 3 diviseurs positifs (et pas 2) : 1, 3 et lui-même).
On sait que 0<=r<=5.
Étant donné que q et r sont des entiers naturels ("Il existe donc des entiers naturels q et r tel que p=6q+r" (ligne 2 de l'énoncé)), les seules valeurs de r restantes sont 1 et 5.
On en déduit donc que si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, il existe un entier naturel q tel que p=6q+1 ou p=6q+5.

[GaBuZoMeu]

Oui, c'est un peu délayé à mon goût mais c'est bon.

[Blabla26]

Oui, c'est un peu délayé à mon goût mais c'est bon.

D'accord. Merci beaucoup pour m'avoir aidé ! Bonne fin de journée.